使用LPP,线性回归方程写出一个目标函数,用于图像分类
时间: 2024-03-18 09:42:47 浏览: 13
LPP(Locality Preserving Projection)是一种基于局部保持的降维算法,它通过保持相邻样本之间的距离来实现数据降维。对于图像分类问题,我们可以使用LPP来提取图像特征,然后再使用线性回归模型进行分类。
假设我们有 $n$ 张图像,每张图像的特征向量为 $\boldsymbol{x}_i\in\mathbb{R}^d$,其中 $d$ 表示特征维数。我们希望将这些图像分成 $k$ 类,可以使用线性回归模型:
$$
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{W}^T\boldsymbol{x}
$$
其中 $\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^k$ 表示分类结果,$\boldsymbol{W}\in\mathbb{R}^{d\times k}$ 是待学习的权重矩阵,$\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^d$ 表示输入特征。
为了让分类结果更加准确,我们可以使用 LPP 对输入特征进行降维。具体来说,我们可以先计算每个样本 $\boldsymbol{x}_i$ 与其 $k$ 个最近邻之间的距离,并将这些距离保存在一个 $n\times n$ 的距离矩阵 $\boldsymbol{D}$ 中。然后,我们可以使用 LPP 对距离矩阵进行降维,得到一个降维后的特征矩阵 $\boldsymbol{X}'\in\mathbb{R}^{n\times m}$,其中 $m$ 是降维后的特征维数。
接下来,我们将 $\boldsymbol{X}'$ 作为输入,使用线性回归模型进行分类。这里的目标函数可以写成:
$$
\min_{\boldsymbol{W}}\sum_{i=1}^n\left\|\boldsymbol{y}_i-\boldsymbol{W}^T\boldsymbol{x}_i'\right\|^2
$$
其中 $\boldsymbol{x}_i'$ 表示样本 $\boldsymbol{x}_i$ 的降维特征,$\boldsymbol{y}_i$ 表示样本 $\boldsymbol{x}_i$ 的类别标签(例如,如果是二分类问题,则 $\boldsymbol{y}_i\in\{0,1\}$)。这个目标函数的意义是,对于每个样本 $\boldsymbol{x}_i'$,我们希望通过 $\boldsymbol{W}$ 将其映射到一个 $k$ 维空间中,并使得映射后的结果 $\boldsymbol{y}_i$ 尽可能接近标签 $\boldsymbol{y}_i$。