min ​ subjectto ​ q(x)= 2 1 ​ x T Gx+x T c a i T ​ x=b i ​ ,i∈E, a i T ​ x≥b i ​ ,i∈I, ​

这是一个二次规划问题，其中：

- x 是一个 n 维向量；
- G 是一个 n × n 的矩阵；
- c 是一个 n 维向量；
- a_i 是一个 n 维向量；
- b_i 是一个标量；
- E 和 I 是指标集，分别代表等式约束和不等式约束。

目标是最小化 q(x)，同时满足所有的约束条件。

具体求解方法可以使用凸优化算法，如内点法、梯度投影法等。

相关问题

给定标识符集(a 1 ​ , a 2 ​ , …a n ​ )，这些字符的下标从1开始按自然序编号，p i ​ 是对a i ​ 成功检索的概率, q i ​ 是不成功检索的概率, 且∑ (1<=i<=n) ​ p i ​ +∑ (0<=i<=n) ​ q i ​ =1，问:它的最优二分检索树是怎样的？ 输入格式: 第1行是n，表示字符个数； 第2行是这n个字符的成功检索概率p i ​ , 0<p i ​ <1; 第3行是失败检索概率q i ​ ，0<q i ​ <1，且∑ (1<=i<=n) ​ p i ​ +∑ (0<=i<=n) ​ q i ​ =1。 输出格式: 最优二分检索树先根遍历时得到的字符编号序列。给出c语言代码

对于这个问题，可以使用动态规划的思想来解决。我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从i到j的最优二分检索树的代价。我们可以使用以下公式来更新dp数组：

dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k-1] + dp[k+1][j] + w[i][j])

其中，k表示i到j中的根节点，w[i][j]表示从i到j的概率和，即w[i][j] = ∑(i<=k<=j) pi + ∑(i-1<=k<=j) qi。

最后，我们可以通过dp[1][n]来得到最优二分检索树的代价。

以下是C语言代码实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>

#define MAX_N 1000

double p[MAX_N+1];
double q[MAX_N+1];
double w[MAX_N+2][MAX_N+1];
double dp[MAX_N+2][MAX_N+1];
int root[MAX_N+1][MAX_N+1];

void build_tree(int i, int j) {
    if (i > j) {
        return;
    }
    int k = root[i][j];
    printf("%d ", k);
    build_tree(i, k-1);
    build_tree(k+1, j);
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%lf", &p[i]);
    }

    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        scanf("%lf", &q[i]);
    }

    for (int i = 1; i <= n+1; i++) {
        w[i][i-1] = q[i-1];
        dp[i][i-1] = q[i-1];
    }

    for (int len = 1; len <= n; len++) {
        for (int i = 1; i <= n-len+1; i++) {
            int j = i+len-1;
            w[i][j] = w[i][j-1] + p[j] + q[j];
            dp[i][j] = INT_MAX;
            for (int k = i; k <= j; k++) {
                double cost = dp[i][k-1] + dp[k+1][j] + w[i][j];
                if (cost < dp[i][j]) {
                    dp[i][j] = cost;
                    root[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }

    printf("先根遍历序列：");
    build_tree(1, n);
    printf("\n最优代价为：%f\n", dp[1][n]);

    return 0;
}

使用c语言解决下列的问题：给定标识符集(a 1 ​ , a 2 ​ , …a n ​ )，这些字符的下标从1开始按自然序编号，p i ​ 是对a i ​ 成功检索的概率, q i ​ 是不成功检索的概率, 且∑ (1<=i<=n) ​ p i ​ +∑ (0<=i<=n) ​ q i ​ =1，问:它的最优二分检索树是怎样的？ 输入格式: 第1行是n，表示字符个数； 第2行是这n个字符的成功检索概率p i ​ , 0<p i ​ <1; 第3行是失败检索概率q i ​ ，0<q i ​ <1，且∑ (1<=i<=n) ​ p i ​ +∑ (0<=i<=n) ​ q i ​ =1。 输出格式: 最优二分检索树先根遍历时得到的字符编号序列。 输入样例1: 4 0.1875 0.1875 0.0625 0.0625 0.125 0.1875 0.0625 0.0625 0.0625 输出样例1: 2 1 3 4 输入样例2: 5 0.1524 0.1369 0.0179 0.0007 0.3081 0.1567 0.1022 0.0682 0.0476 0.0084 0.0009 输出样例2: 2 1 5 3 4 给定标识符集(a 1 ​ , a 2 ​ , …a n ​ )，这些字符的下标从1开始按自然序编号，p i ​ 是对a i ​ 成功检索的概率, q i ​ 是不成功检索的概率, 且∑ (1<=i<=n) ​ p i ​ +∑ (0<=i<=n) ​ q i ​ =1，问:它的最优二分检索树是怎样的？ 输入格式: 第1行是n，表示字符个数； 第2行是这n个字符的成功检索概率p i ​ , 0<p i ​ <1; 第3行是失败检索概率q i ​ ，0<q i ​ <1，且∑ (1<=i<=n) ​ p i ​ +∑ (0<=i<=n) ​ q i ​ =1。 输出格式: 最优二分检索树先根遍历时得到的字符编号序列。 输入样例1: 4 0.1875 0.1875 0.0625 0.0625 0.125 0.1875 0.0625 0.0625 0.0625 输出样例1: 2 1 3 4 输入样例2: 5 0.1524 0.1369 0.0179 0.0007 0.3081 0.1567 0.1022 0.0682 0.0476 0.0084 0.0009 输出样例2: 2 1 5 3 4

这是一个经典的动态规划问题，可以使用DP求解。设$f(i,j)$表示第$i$到第$j$个字符构成的子树的最小平均搜索代价，则有：

$$f(i,j)=\begin{cases} q_{i-1},&j=i-1\\ \min\limits_{i\le k\le j}\{f(i,k-1)+f(k+1,j)\}+\sum\limits_{k=i}^jp_k,&j\ge i \end{cases}$$

其中$q_{i-1}$表示虚拟节点的权值，$\sum\limits_{k=i}^jp_k$表示第$i$到第$j$个字符构成的子树的所有节点的权值之和。

基于上述DP状态转移方程，可以使用自底向上的方式求解出所有子问题的最优解，最终得到整个问题的最优解，即$f(1,n)$。同时，在状态转移的过程中，可以记录下最优的分割位置，以便还原最优的二分检索树。

以下是使用C语言实现的代码：