模拟退火算法求解rosenbrock 函数

Rosenbrock函数是一个经典的优化问题，其公式如下：

$f(x,y)=(1-x)^2+100(y-x^2)^2$

其中，$x,y$为自变量，$f(x,y)$为目标函数。我们可以使用模拟退火算法来求解这个问题。

模拟退火算法的基本思路是，从一个初始解出发，通过随机扰动得到一个新的解，并根据一定的策略来决定是否接受新解。通过不断重复这个过程，逐渐接近最优解。

具体实现中，我们可以先确定一个初始解$x_0$，然后设定一个初始温度$T_0$，以及一个降温速率$r$。在每个温度下，我们重复执行以下步骤：

1. 随机扰动当前解$x_i$，得到一个新的解$x_j$；
2. 计算新解的目标函数值$f(x_j)$和当前解的目标函数值$f(x_i)$；
3. 根据一定的策略来决定是否接受新解。常用的策略有Metropolis准则和Boltzmann准则等。

在每个温度下重复执行若干次上述步骤，直到达到一个平衡状态。然后降温，并重复执行上述步骤，直到温度降至足够低，或者达到一定的迭代次数。

下面是使用Python实现模拟退火算法求解Rosenbrock函数的示例代码：

import math
import random

def rosenbrock(x, y):
    return (1 - x) ** 2 + 100 * (y - x ** 2) ** 2

def simulated_annealing(T0, r, n_iter):
    x = random.uniform(-5, 5)
    y = random.uniform(-5, 5)
    fx = rosenbrock(x, y)
    T = T0
    for i in range(n_iter):
        T *= r
        for j in range(100):
            dx = random.uniform(-1, 1)
            dy = random.uniform(-1, 1)
            x1 = x + dx
            y1 = y + dy
            fx1 = rosenbrock(x1, y1)
            delta = fx1 - fx
            if delta < 0 or math.exp(-delta / T) > random.uniform(0, 1):
                x, y, fx = x1, y1, fx1
    return x, y, fx

if __name__ == '__main__':
    x, y, fx = simulated_annealing(T0=1, r=0.95, n_iter=100)
    print('x =', x)
    print('y =', y)
    print('f(x,y) =', fx)

在上述代码中，我们先定义了Rosenbrock函数和模拟退火算法的实现。在模拟退火算法中，我们设定了初始温度$T_0=1$，降温速率$r=0.95$，以及迭代次数$n_{iter}=100$。然后从一个随机初始解出发，通过随机扰动得到新解，并根据Metropolis准则来决定是否接受新解。最后输出求解结果。

需要注意的是，模拟退火算法的求解结果可能受到初始解、温度和降温速率等参数的影响，因此需要进行多次运行，并取最优解作为最终结果。