模拟退火算法求Rosenbrock

Rosenbrock函数是一个经典的非凸优化问题，其函数形式为：

f(x,y) = (1-x)^2 + 100(y-x^2)^2

其中，x和y是变量。

下面介绍如何使用模拟退火算法求解Rosenbrock函数的最小值。

1. 定义初始状态

首先需要定义初始状态。可以随机生成一个初始状态，即随机生成x和y的值。例如，假设x和y的取值范围均为[-5,5]，则可以使用如下代码生成一个初始状态：

import random

x = random.uniform(-5, 5)
y = random.uniform(-5, 5)

state = (x, y)

2. 定义能量函数

接下来需要定义能量函数。Rosenbrock函数就是我们要求解的能量函数。可以使用如下代码定义Rosenbrock函数：

def rosenbrock(x, y):
    return (1 - x)**2 + 100 * (y - x**2)**2

3. 定义邻域函数

模拟退火算法需要定义邻域函数，用于生成新的状态。可以使用如下代码定义邻域函数：

def neighbor(state):
    x, y = state
    dx = random.uniform(-0.5, 0.5)
    dy = random.uniform(-0.5, 0.5)
    return (x+dx, y+dy)

该邻域函数会在当前状态的基础上，随机生成一个小的偏移量，生成新的状态。

4. 定义温度函数

模拟退火算法需要定义温度函数，用于控制搜索过程中的温度变化。可以使用如下代码定义温度函数：

def temperature(step):
    return max(0.01, 1 - step/1000)

该温度函数会随着搜索步数的增加而降低温度。

5. 定义搜索函数

最后，可以定义搜索函数，使用模拟退火算法搜索Rosenbrock函数的最小值。可以使用如下代码定义搜索函数：

def simulated_annealing(start_state, energy_func, neighbor_func, temperature_func):
    state = start_state
    energy = energy_func(*state)

    for step in range(10000):
        new_state = neighbor_func(state)
        new_energy = energy_func(*new_state)
        delta_energy = new_energy - energy

        if delta_energy < 0 or random.random() < math.exp(-delta_energy/temperature_func(step)):
            state = new_state
            energy = new_energy

    return state, energy

该搜索函数会在初始状态的基础上，不断地生成新的状态，并计算每个状态的能量值。如果新状态的能量值更低，那么就接受该状态；否则，以一定的概率接受该状态。随着搜索步数的增加，温度会降低，使得接受劣解的概率逐渐降低。

6. 运行搜索函数

最后，可以运行搜索函数，求解Rosenbrock函数的最小值。可以使用如下代码运行搜索函数：

import math

start_state = (0, 0)
final_state, final_energy = simulated_annealing(start_state, rosenbrock, neighbor, temperature)

print("Final state:", final_state)
print("Final energy:", final_energy)

该代码会输出最小值的状态和能量值。