对于带权无向图 G = (V, E)，M 是 G 的最小生成树，则 M 中任意两点 V1 到 V2 的路径一定是它们之间的最短路径。

这个结论是错误的。在带权无向图 G = (V, E) 中，如果 M 是 G 的最小生成树，M 中任意两点 V1 到 V2 的路径不一定是它们之间的最短路径。因为最小生成树是基于边权值构建的，而最短路径是基于点权值计算的，两者的权值计算方式不同。

例如，考虑下面这个图：

     1
A ------ B
|\       |
| \      |
|  \     | 2
|   \    |
|    \   |
|     \  |
|      \ |
C ------ D
     3

其中，边权值表示在两个顶点之间的距离，顶点 A 到顶点 D 的最短路径是 A -> C -> D，路径长度为 4，而最小生成树是 A -> C -> B -> D，路径长度为 5。因此，M 中任意两点 V1 到 V2 的路径不一定是它们之间的最短路径。

相关问题

用c语言写 以邻接表位存储结构实现无向图给定一个带权图，求其最小生成树

要求一个带权无向图的最小生成树，可以使用 Prim 或 Kruskal 算法，下面给出使用 Prim 算法的代码实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>

#define MAX_VERTEX_NUM 100    // 最大顶点数
#define INF 0x3f3f3f3f        // 无穷大

// 边的定义
typedef struct edge {
    int v1, v2;     // 边的两个端点
    int weight;     // 权值
} Edge;

// 邻接表中的边的定义
typedef struct edgeNode {
    int adjvex;     // 邻接点编号
    int weight;     // 权值
    struct edgeNode *next;  // 指向下一个邻接点的指针
} EdgeNode;

// 邻接表中顶点的定义
typedef struct vertexNode {
    int data;       // 顶点的数据
    EdgeNode *firstEdge; // 指向第一个邻接点的指针
} VertexNode;

// 邻接表的定义
typedef struct {
    VertexNode adjList[MAX_VERTEX_NUM]; // 邻接表数组
    int vertexNum, edgeNum;     // 顶点数和边数
} Graph;

// 创建一个图
void createGraph(Graph *G) {
    printf("请输入顶点数和边数：");
    scanf("%d%d", &G->vertexNum, &G->edgeNum);
    getchar();
    // 初始化邻接表
    for (int i = 0; i < G->vertexNum; i++) {
        printf("请输入第%d个顶点的值：", i);
        scanf("%d", &G->adjList[i].data);
        G->adjList[i].firstEdge = NULL;
        getchar();
    }
    // 建立边表
    printf("请依次输入每条边的起点、终点和权值：\n");
    for (int i = 0; i < G->edgeNum; i++) {
        Edge e;
        scanf("%d%d%d", &e.v1, &e.v2, &e.weight);
        getchar();
        // 新建一个边节点
        EdgeNode *p = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
        p->adjvex = e.v2;
        p->weight = e.weight;
        p->next = G->adjList[e.v1].firstEdge; // 插入到表头
        G->adjList[e.v1].firstEdge = p;
        // 因为是无向图，所以要对称添加一条反向的边
        EdgeNode *q = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
        q->adjvex = e.v1;
        q->weight = e.weight;
        q->next = G->adjList[e.v2].firstEdge; // 插入到表头
        G->adjList[e.v2].firstEdge = q;
    }
}

// Prim 算法求最小生成树
void prim(Graph G) {
    bool visited[MAX_VERTEX_NUM] = {false}; // 标记每个顶点是否已访问
    int dist[MAX_VERTEX_NUM];   // 保存从已选顶点到未选顶点的最小权值
    int parent[MAX_VERTEX_NUM]; // 记录最小生成树的边
    // 初始化
    for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++) {
        dist[i] = INF;
    }
    visited[0] = true; // 从第一个顶点出发
    // 处理第一个顶点的邻接点
    EdgeNode *p = G.adjList[0].firstEdge;
    while (p != NULL) {
        dist[p->adjvex] = p->weight;
        parent[p->adjvex] = 0; // 记录边
        p = p->next;
    }
    // 从剩下的 n-1 个顶点中选出 n-1 条边
    for (int i = 1; i < G.vertexNum; i++) {
        int v = -1; // 选出一个未访问的顶点，使得 dist[v] 最小
        int min = INF;
        // 找到 dist 最小的顶点
        for (int j = 0; j < G.vertexNum; j++) {
            if (!visited[j] && dist[j] < min) {
                v = j;
                min = dist[j];
            }
        }
        if (v == -1) {
            // 找不到未访问的顶点，说明图不连通
            printf("图不连通！\n");
            return;
        }
        visited[v] = true;
        // 更新从已选顶点到未选顶点的最小权值
        p = G.adjList[v].firstEdge;
        while (p != NULL) {
            if (!visited[p->adjvex] && p->weight < dist[p->adjvex]) {
                dist[p->adjvex] = p->weight;
                parent[p->adjvex] = v; // 记录边
            }
            p = p->next;
        }
    }
    // 输出最小生成树
    printf("最小生成树的边为：\n");
    int weightSum = 0;
    for (int i = 1; i < G.vertexNum; i++) {
        printf("(%d, %d, %d)\n", parent[i], i, dist[i]);
        weightSum += dist[i];
    }
    printf("最小权值和为：%d\n", weightSum);
}

int main() {
    Graph G;
    createGraph(&G);
    prim(G);
    return 0;
}

在代码中，我们使用了邻接表来存储图，并使用 Prim 算法求出了最小生成树。在 Prim 算法中，我们使用了一个 dist 数组来保存从已选顶点到未选顶点的最小权值，使用一个 parent 数组来记录最小生成树的边。在每次选择一个顶点时，我们需要更新 dist 数组，然后根据 dist 数组找到最小的 dist 值对应的顶点，将其加入已选顶点集合中，并将其邻接点的 dist 值更新，直至所有顶点都被加入已选顶点集合中。最后，我们输出最小生成树的边以及权值和。

需要注意的是，在 Prim 算法中，我们需要处理图不连通的情况，即在选择一个顶点时，找不到未访问的顶点。此时，我们需要输出提示信息并结束算法。

解释代码（ for(int k=0;k<G.arcnum;k++) { int i,j; char v1,v2; int c; printf("请输入(Vi,Vj)对应的顶点及长度:\n"); cin>>v1>>v2>>c; //输入一条边依附的两个顶点及权值 Edge[k].Head=v1; Edge[k].Tail=v2; Edge[k].lowcost=c; i = LocateVex(G,v1); j = LocateVex(G,v2); G.arcs[i][j]=G.arcs[j][i]=c; } } typedef struct Closedge { VerTexType adjvex;//最小边在U中的那个顶点 ArcType lowcost;//最小边上的权值 }closedge[MVNum]; int Min(closedge SZ,AMGraph G)//求出第k个顶点，closedge[k]中存有当前最小边 { int i=0,j,k,min; while(!SZ[i].lowcost) i++; min=SZ[i].lowcost; k=i; for(j=i+1;j<G.vexnum;j++) { if(SZ[j].lowcost>0) { if(min>SZ[j].lowcost) { min=SZ[j].lowcost; k=j; } } } return k; } void prim(AMGraph G,VerTexType u)//p算法 {//无向图G以邻接矩阵形式存储，从顶点u出发构造G的最小生成树T，输出T的各条边 closedge closedge; int k=LocateVex(G,u);//k为顶点u的下标 for(int j=0;j<G.vexnum;j++)//对V-U的每一个顶点vj，初始化closedge[j] { closedge[j].adjvex=u; closedge[j].lowcost=G.arcs[k][j]; } closedge[k].lowcost=0;//初始，U={u} ）

这段代码实现了Prim算法，用于求解无向图的最小生成树。首先，通过for循环和LocateVex函数输入每条边的信息，包括边的起点、终点和权值，并将这些信息存储在Edge数组中。接下来，定义了一个结构体Closedge用于存储最小生成树的各个节点的信息，包括最小边在U中的那个顶点和最小边上的权值。Min函数用于求出第k个顶点，closedge[k]中存有当前最小边。最后，prim函数用于构造最小生成树，首先对V-U的每个顶点vj进行初始化，将closedge[j].adjvex设置为起点u，将closedge[j].lowcost设置为起点u到vj的距离。然后将起点u加入U中，将closedge[k].lowcost设置为0，表示已经访问过。