对于带权无向图 G = (V, E),M 是 G 的最小生成树,则 M 中任意两点 V1 到 V2 的路径一定是它们之间的最短路径。
时间: 2024-03-02 15:48:56 浏览: 52
这个结论是错误的。在带权无向图 G = (V, E) 中,如果 M 是 G 的最小生成树,M 中任意两点 V1 到 V2 的路径不一定是它们之间的最短路径。因为最小生成树是基于边权值构建的,而最短路径是基于点权值计算的,两者的权值计算方式不同。
例如,考虑下面这个图:
```
1
A ------ B
|\ |
| \ |
| \ | 2
| \ |
| \ |
| \ |
| \ |
C ------ D
3
```
其中,边权值表示在两个顶点之间的距离,顶点 A 到顶点 D 的最短路径是 A -> C -> D,路径长度为 4,而最小生成树是 A -> C -> B -> D,路径长度为 5。因此,M 中任意两点 V1 到 V2 的路径不一定是它们之间的最短路径。
相关问题
用c语言写 以邻接表位存储结构实现无向图给定一个带权图,求其最小生成树
要求一个带权无向图的最小生成树,可以使用 Prim 或 Kruskal 算法,下面给出使用 Prim 算法的代码实现:
```c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#define MAX_VERTEX_NUM 100 // 最大顶点数
#define INF 0x3f3f3f3f // 无穷大
// 边的定义
typedef struct edge {
int v1, v2; // 边的两个端点
int weight; // 权值
} Edge;
// 邻接表中的边的定义
typedef struct edgeNode {
int adjvex; // 邻接点编号
int weight; // 权值
struct edgeNode *next; // 指向下一个邻接点的指针
} EdgeNode;
// 邻接表中顶点的定义
typedef struct vertexNode {
int data; // 顶点的数据
EdgeNode *firstEdge; // 指向第一个邻接点的指针
} VertexNode;
// 邻接表的定义
typedef struct {
VertexNode adjList[MAX_VERTEX_NUM]; // 邻接表数组
int vertexNum, edgeNum; // 顶点数和边数
} Graph;
// 创建一个图
void createGraph(Graph *G) {
printf("请输入顶点数和边数:");
scanf("%d%d", &G->vertexNum, &G->edgeNum);
getchar();
// 初始化邻接表
for (int i = 0; i < G->vertexNum; i++) {
printf("请输入第%d个顶点的值:", i);
scanf("%d", &G->adjList[i].data);
G->adjList[i].firstEdge = NULL;
getchar();
}
// 建立边表
printf("请依次输入每条边的起点、终点和权值:\n");
for (int i = 0; i < G->edgeNum; i++) {
Edge e;
scanf("%d%d%d", &e.v1, &e.v2, &e.weight);
getchar();
// 新建一个边节点
EdgeNode *p = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
p->adjvex = e.v2;
p->weight = e.weight;
p->next = G->adjList[e.v1].firstEdge; // 插入到表头
G->adjList[e.v1].firstEdge = p;
// 因为是无向图,所以要对称添加一条反向的边
EdgeNode *q = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
q->adjvex = e.v1;
q->weight = e.weight;
q->next = G->adjList[e.v2].firstEdge; // 插入到表头
G->adjList[e.v2].firstEdge = q;
}
}
// Prim 算法求最小生成树
void prim(Graph G) {
bool visited[MAX_VERTEX_NUM] = {false}; // 标记每个顶点是否已访问
int dist[MAX_VERTEX_NUM]; // 保存从已选顶点到未选顶点的最小权值
int parent[MAX_VERTEX_NUM]; // 记录最小生成树的边
// 初始化
for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++) {
dist[i] = INF;
}
visited[0] = true; // 从第一个顶点出发
// 处理第一个顶点的邻接点
EdgeNode *p = G.adjList[0].firstEdge;
while (p != NULL) {
dist[p->adjvex] = p->weight;
parent[p->adjvex] = 0; // 记录边
p = p->next;
}
// 从剩下的 n-1 个顶点中选出 n-1 条边
for (int i = 1; i < G.vertexNum; i++) {
int v = -1; // 选出一个未访问的顶点,使得 dist[v] 最小
int min = INF;
// 找到 dist 最小的顶点
for (int j = 0; j < G.vertexNum; j++) {
if (!visited[j] && dist[j] < min) {
v = j;
min = dist[j];
}
}
if (v == -1) {
// 找不到未访问的顶点,说明图不连通
printf("图不连通!\n");
return;
}
visited[v] = true;
// 更新从已选顶点到未选顶点的最小权值
p = G.adjList[v].firstEdge;
while (p != NULL) {
if (!visited[p->adjvex] && p->weight < dist[p->adjvex]) {
dist[p->adjvex] = p->weight;
parent[p->adjvex] = v; // 记录边
}
p = p->next;
}
}
// 输出最小生成树
printf("最小生成树的边为:\n");
int weightSum = 0;
for (int i = 1; i < G.vertexNum; i++) {
printf("(%d, %d, %d)\n", parent[i], i, dist[i]);
weightSum += dist[i];
}
printf("最小权值和为:%d\n", weightSum);
}
int main() {
Graph G;
createGraph(&G);
prim(G);
return 0;
}
```
在代码中,我们使用了邻接表来存储图,并使用 Prim 算法求出了最小生成树。在 Prim 算法中,我们使用了一个 dist 数组来保存从已选顶点到未选顶点的最小权值,使用一个 parent 数组来记录最小生成树的边。在每次选择一个顶点时,我们需要更新 dist 数组,然后根据 dist 数组找到最小的 dist 值对应的顶点,将其加入已选顶点集合中,并将其邻接点的 dist 值更新,直至所有顶点都被加入已选顶点集合中。最后,我们输出最小生成树的边以及权值和。
需要注意的是,在 Prim 算法中,我们需要处理图不连通的情况,即在选择一个顶点时,找不到未访问的顶点。此时,我们需要输出提示信息并结束算法。
用Kruskal算法计算出无向图的最小生成树。输入:无输出:生成树的每条边及生成树的权值之和
好的,我可以帮你解决这个问题。Kruskal算法是一种贪心算法,用于计算无向图的最小生成树。其基本思想是从所有边中选择最小权值的边加入生成树中,直到生成树中包含了所有的顶点。
以下是Kruskal算法的详细步骤:
1. 将所有的边按照权值从小到大排序。
2. 初始化一个空的生成树。
3. 依次遍历排序后的边,如果这条边的两个端点不在同一个连通块中,则将这条边加入生成树中,并将这两个端点合并到同一个连通块中。
4. 重复步骤3,直到生成树中包含了所有的顶点。
接下来,我将给出一个使用Kruskal算法计算无向图最小生成树的Python代码:
```python
def kruskal(graph):
# 将所有边按照权值从小到大排序
edges = sorted(graph.edges, key=lambda e: e.weight)
# 初始化每个点的连通块
parents = {v: v for v in graph.vertices}
# 定义找父节点的函数
def find(parents, v):
while v != parents[v]:
v = parents[v]
return v
# 定义连接连通块的函数
def union(parents, v1, v2):
p1, p2 = find(parents, v1), find(parents, v2)
parents[p1] = p2
# 初始化生成树和权值之和
mst, weight = [], 0
# 遍历所有的边
for e in edges:
if find(parents, e.start) != find(parents, e.end):
# 如果两个端点不在同一个连通块中,则将这条边加入生成树中
mst.append(e)
weight += e.weight
# 将这两个端点合并到同一个连通块中
union(parents, e.start, e.end)
# 返回生成树和权值之和
return mst, weight
```
其中,`graph`表示输入的无向图,其包含了所有的顶点和边。`graph.edges`表示图中所有的边,`e.weight`表示边`e`的权值。在代码中,我们使用了一个`parents`字典来记录每个点所在的连通块。`find`函数用于查找某个点所在的连通块的根节点,`union`函数用于将两个点所在的连通块合并成一个。最后,我们遍历所有的边,如果这条边的两个端点不在同一个连通块中,则将它加入生成树中,并将这两个端点合并到同一个连通块中。最终,函数返回生成树和权值之和。
希望这个回答能够帮助到你!
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