sor迭代法的设计思想和原理

SOR（Successive Over-Relaxation）迭代法是一种用于解线性方程组的迭代方法，它基于Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，并且可以比它们更快地收敛。

其设计思想是通过加速收敛速度来提高Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的效率。具体来说，SOR迭代法在每次迭代中，将Jacobi或Gauss-Seidel迭代法的更新值与当前值做一个加权平均，而权重因子称为松弛因子（relaxation factor），通常表示为ω（0<ω<2）。松弛因子的取值影响着SOR迭代法的收敛速度和稳定性。

其原理是通过不断迭代求解线性方程组，直到误差小于一定的阈值为止。具体来说，SOR迭代法的迭代公式为：

$x_i^{(k+1)} = (1-\omega)x_i^{(k)} + \frac{\omega}{a_{ii}}(b_i-\sum\limits_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum\limits_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{(k)})$

其中，$x_i^{(k+1)}$是第i个未知量在第k+1次迭代后的解，$x_j^{(k+1)}$是第j个未知量在第k+1次迭代后的解，$a_{ij}$是系数矩阵中第i行第j列的元素，$b_i$是方程组中第i个方程的常数项，ω是松弛因子，n是未知量的个数。

SOR迭代法的收敛性与松弛因子的取值有关，当0<ω<1时，SOR迭代法是收敛的；当ω=1时，SOR迭代法退化为Gauss-Seidel迭代法；当1<ω<2时，SOR迭代法可能不收敛。因此，选择合适的松弛因子对于SOR迭代法的性能至关重要。