动态规划算法多边形游戏

多边形游戏是一种经典的博弈论问题，动态规划算法可以用来解决这个问题。在多边形游戏中，有一个 $n$ 边形，每个顶点上有一个非负整数，两个玩家轮流选择一个顶点并将其与相邻的两个顶点连线，最后将多边形划分为若干个三角形，每个三角形的得分为其三个顶点上的数之和，玩家最终得分为其所选三角形得分之和。

为了解决这个问题，我们可以使用动态规划算法。定义 $dp_{i,j,k}$ 表示将顶点 $i$ 到顶点 $j$ 之间的部分划分为 $k$ 个三角形所得到的最大得分。则最终的答案为 $dp_{1,n,1}$。初始状态为 $dp_{i,i,1} = 0$，$dp_{i,i+1,1} = a_i + a_{i+1}$。转移方程为：

$$
dp_{i,j,k} = \max_{i\leq m<j} \{dp_{i,m,k-1} + dp_{m,j,1} + \sum_{p=i}^{j} a_p\}
$$

其中 $\sum_{p=i}^{j} a_p$ 表示顶点 $i$ 到顶点 $j$ 之间的数之和。这个转移方程的意义是：先将顶点 $i$ 到顶点 $m$ 之间的部分划分为 $k-1$ 个三角形，然后将顶点 $m$ 到顶点 $j$ 之间的部分划分为 $1$ 个三角形，再将整个多边形划分为 $k$ 个三角形，最后取所有可能的 $m$ 中的最大值。

最终的时间复杂度为 $O(n^3)$，可以通过此算法解决多边形游戏问题。

相关问题

动态规划-多边形游戏算法

多边形游戏算法是一个涉及动态规划的经典问题。其目标是找到一个玩家在一个给定多边形上进行移动的最佳策略，以使得玩家能够获得最大的分数。

具体算法如下：
1. 首先，定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示当剩余多边形顶点范围为i到j时，当前玩家能够获得的最大分数。
2. 初始化dp数组的对角线元素，即当只剩下一个顶点时，玩家能获得的最大分数为该顶点的值，即dp[i][i] = val[i]。
3. 然后，按照顶点范围的长度从小到大进行遍历。对于每个范围长度为len的子多边形，遍历起始顶点位置start，计算当前玩家在该范围内的最优分数。
4. 在遍历过程中，对于每个起始位置start，计算当前玩家选择从起始位置start移动到下一个位置pos的得分。可以通过递归调用dp数组来计算剩余多边形范围为pos+1到end时下一个玩家能够获得的最大分数。
5. 根据当前玩家选择移动到下一个位置pos后，当前玩家能够获得的最大分数为当前顶点的值加上剩余多边形范围为pos+1到end时下一个玩家能够获得的最大分数。当前玩家选择使得自己获得的分数最大化。
6. 最后，返回dp[n-1]，即玩家在整个多边形上进行移动时能够获得的最大分数。

这就是多边形游戏算法的基本思路。通过动态规划的方式，可以高效地求解该问题，并找到最优策略。

多边形游戏动态规划算法

多边形游戏的动态规划算法一般是基于状态转移的思想。

首先，我们需要定义状态。在多边形游戏中，我们可以将多边形看作一个环形的序列，每个点都可以选择作为起点或终点。因此，可以定义一个状态 $f(i,j,k)$ 表示从点 $i$ 开始，走到点 $j$ 结束，并且所有经过的点中，编号大于 $k$ 的点都没有被经过的最小花费。

接下来，我们需要考虑状态转移。对于当前状态 $f(i,j,k)$，我们可以枚举下一个经过的点 $p$，然后将问题分解为两个子问题：

1. 从 $i$ 走到 $p$ 的最小花费 $f(i,p,k)$；
2. 从 $p$ 走到 $j$ 的最小花费 $f(p,j,p+1)$（这里需要注意，为了避免重复计算，我们将 $k$ 更新为 $p+1$）。

那么当前状态的最小花费就是这两个子问题的和，即 $f(i,j,k)=\min_{p=k+1}^{j-1}\{f(i,p,k)+f(p,j,p+1)\}+cost(i,j)$，其中 $cost(i,j)$ 表示从点 $i$ 走到点 $j$ 的花费。

最后，我们需要考虑边界条件。显然，当 $i=j$ 时，花费为 $0$，即 $f(i,i,k)=0$。

综上所述，多边形游戏的动态规划算法可以描述为：

1. 初始化 $f(i,i,k)=0$；
2. 对于 $i<j$，枚举 $p=k+1,k+2,\ldots,j-1$，计算 $f(i,j,k)=\min_{p=k+1}^{j-1}\{f(i,p,k)+f(p,j,p+1)\}+cost(i,j)$；
3. 最终的答案为 $f(1,n,1)$，其中 $n$ 表示多边形的点数。