已知两物种的变化率服从下列方程组:a'=0.8a-8*10^-5*a^2-6*10^-5*ab,b'=0.7b-7*10^-6*b^2-50.4*10^-6*ab 讨论平衡点的稳定性,解释其意义。
时间: 2023-11-14 14:27:05 浏览: 33
这个方程组中 $a$ 和 $b$ 的平衡点为 $(0, 0)$ 和 $(4000, 7000)$。下面分别对这两个平衡点进行稳定性分析。
1. $(0, 0)$ 的稳定性分析:
将原方程组线性化,得到如下矩阵:
$$
\begin{pmatrix}
a' \\
b' \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.8 & 0 \\
0 & 0.7 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a \\
b \\
\end{pmatrix}
$$
将上式中的矩阵记为 $A$,则特征方程为:
$$
\begin{vmatrix}
0.8-\lambda & 0 \\
0 & 0.7-\lambda \\
\end{vmatrix}
=0
$$
求解特征方程得到特征值为 $\lambda_1=0.8$ 和 $\lambda_2=0.7$。
因为特征值的实部均为正数,所以该平衡点是不稳定的。这意味着当 $a$ 和 $b$ 的数量接近于零时,它们的数量会不断增长,直到达到新的平衡状态 $(4000, 7000)$。
2. $(4000, 7000)$ 的稳定性分析:
将原方程组线性化,得到如下矩阵:
$$
\begin{pmatrix}
a' \\
b' \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-0.08 & -0.06 \\
-0.035 & -0.049 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a-4000 \\
b-7000 \\
\end{pmatrix}
$$
将上式中的矩阵记为 $A$,则特征方程为:
$$
\begin{vmatrix}
-0.08-\lambda & -0.06 \\
-0.035 & -0.049-\lambda \\
\end{vmatrix}
=0
$$
求解特征方程得到特征值为 $\lambda_1=-0.0717-0.0511i$ 和 $\lambda_2=-0.0717+0.0511i$。
因为特征值的实部均为负数,所以该平衡点是稳定的。这意味着当 $a$ 和 $b$ 的数量接近于 $(4000, 7000)$ 时,它们的数量会保持在这个范围内,不会发生明显的变化。
综上所述,该方程组中有一个不稳定的平衡点 $(0, 0)$ 和一个稳定的平衡点 $(4000, 7000)$。这意味着当物种的数量接近于 $(0, 0)$ 时,它们的数量会不断增长,而当物种的数量接近于 $(4000, 7000)$ 时,它们的数量会保持在这个范围内,不会发生明显的变化。
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