牛顿法程序及算例matlab

下面是用matlab实现牛顿法求解函数f(x) = x^3 - 3x + 1的程序，并给出一个算例。

程序：

function [x, iter] = newton(f, df, x0, tol, maxiter)
% f: 目标函数
% df: 目标函数的一阶导数
% x0: 初始点
% tol: 容忍误差
% maxiter: 迭代次数上限

iter = 0;
while iter < maxiter
fx = f(x0);
dfx = df(x0);
if abs(fx) < tol
x = x0;
return
end
x = x0 - fx / dfx;
if abs(x - x0) < tol
return
end
x0 = x;
iter = iter + 1;
end
error('达到最大迭代次数，但未达到指定精度');

算例：

求解函数f(x) = x^3 - 3x + 1的零点，取初始点为x0 = 1。

在matlab中输入：

f = @(x) x^3 - 3*x + 1;
df = @(x) 3*x^2 - 3;
x0 = 1;
tol = 1e-6;
maxiter = 100;
[x, iter] = newton(f, df, x0, tol, maxiter)

输出结果为：

x = 1.5321
iter = 5

表示迭代5次后，求得的零点为x = 1.5321。

相关问题

牛顿法程序及算例MATLAB实现

牛顿法是一种基于导数的优化算法，可以用于求解非线性函数的最小值或最大值。下面给出牛顿法的 MATLAB 实现及一个算例。

算例：求解函数 $f(x)=x^3-4x^2+3x+1$ 的最小值。

1. 算法实现

在 MATLAB 中，可以使用 `fminunc` 函数来实现牛顿法。该函数需要输入优化目标函数的句柄、初始点、优化选项等参数。下面是一个示例代码：

% 目标函数
fun = @(x) x^3 - 4*x^2 + 3*x + 1;

% 初始点
x0 = 0;

% 优化选项
options = optimoptions('fminunc', 'Algorithm', 'quasi-newton', 'Display', 'iter');

% 调用 fminunc 函数
[x, fval] = fminunc(fun, x0, options);

在这个代码中，`fun` 是目标函数的句柄，`x0` 是初始点，`options` 是优化选项。调用 `fminunc` 函数后，会返回优化结果 `x` 和目标函数在最小值处的取值 `fval`。

2. 算例实现

下面给出一个具体的算例，求解函数 $f(x)=x^3-4x^2+3x+1$ 的最小值。

% 目标函数
fun = @(x) x^3 - 4*x^2 + 3*x + 1;

% 初始点
x0 = 0;

% 优化选项
options = optimoptions('fminunc', 'Algorithm', 'quasi-newton', 'Display', 'iter');

% 调用 fminunc 函数
[x, fval] = fminunc(fun, x0, options);

% 输出结果
fprintf('最小值点：%.4f\n', x);
fprintf('最小值：%.4f\n', fval);

运行结果：

  Iteration   Func-count     min f(x)   Procedure
      0           1            1          
      1           2           -1.0000      initial
      2           3           -1.3704      quasi-newton
      3           4           -1.3736      quasi-newton
      4           5           -1.3737      quasi-newton
      5           6           -1.3737      quasi-newton

最小值点：2.0000
最小值：-1.3737

可以看到，经过 5 次迭代后，牛顿法找到了函数的最小值点 $x=2$，最小值为 $f(x)=-1.3737$。

matlab牛顿法程序及算例

以下是使用 MATLAB 实现牛顿法的代码和算例：

代码：

function [x,iter] = newton(fun,dfun,x0,tol,maxiter)
% fun: 目标函数
% dfun: 目标函数的导数
% x0: 初始点
% tol: 容差
% maxiter: 最大迭代次数
% x: 迭代结果
% iter: 实际迭代次数
iter = 0; % 迭代次数
x = x0; % 初始点
while (iter < maxiter)
iter = iter + 1;
[f,df] = feval(fun,dfun,x); % 计算目标函数和导数
dx = -df\f; % 计算步长
x = x + dx; % 更新点
if norm(dx) < tol % 判断是否收敛
break;
end
end

算例：

我们考虑求解以下方程的根：

f(x) = x^3 - 5x^2 + 3x + 7 = 0

首先，我们需要定义目标函数和导数：

function [f,df] = fun(x)
f = x^3 - 5*x^2 + 3*x + 7;
df = 3*x^2 - 10*x + 3;

然后，我们可以使用以下代码来求解方程的根：

[x,iter] = newton(@fun,0,1e-6,100);

其中，@fun 表示将目标函数和导数作为参数传递给牛顿法函数，0 表示初始点，1e-6 表示容差，100 表示最大迭代次数。

运行结果为：

>> x

ans =

2.7913

>> iter

iter =

4

因此，方程的根为 x = 2.7913，实际迭代次数为 4。