6-5 递归求简单交错幂级数的部分和 (15 分)

### 回答1：
该问题可以通过递归求解。如果减数比被减数小，则存在借位，此时需要将借位增加到被减数上。具体步骤如下：

1. 将被减数和减数的每一位分别计算。

2. 如果被减数的当前位小于减数的当前位，则需要向高位借位。将被减数的前一位减1，并将当前位加上10。如果被减数当前位已经是最高位了，则无解。

3. 计算当前位的差值，并将结果保存。重复步骤1~3，直到计算完所有位。

示例：

假设被减数为876，减数为238，则计算过程如下：

第一位：6 - 8 = -2，需要向高位借位，将7-1=6，当前位变为16，则当前位的结果为16-8=8。

第二位：7 - 3 = 4，当前位结果为4。

第三位：8 - 2 = 6，当前位结果为6。

最终结果为648。

### 回答2：
简单交错幂级数的一般形式为：$S=a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots+(-1)^na_n+\cdots$，其中 $a_n$ 为实数系数。要求递归求出该级数的前 $n$ 项和 $S_n$，即 $S_n=a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots+(-1)^na_n$，并输出 $S_n$ 的值。

首先考虑递归基：当 $n=1$ 时，$S_1=a_0-a_1$，直接返回该值即可。当 $n=0$ 时，$S_0=0$，同样直接返回。

对于 $n>1$ 的情况，要求的是前 $n$ 项和，因此可以利用递归求解前 $n-1$ 项和的方法，再根据 $a_{n-1}$ 和 $(-1)^n$ 对其进行调整，即：

$$S_n=S_{n-1}+(-1)^na_{n-1}$$

递归过程中需要保存前 $n-1$ 项和的值，以供后续计算使用。因此可以定义一个递归函数 $sum(n)$，其功能为返回前 $n$ 项和 $S_n$。伪代码如下：

function sum(n)
if n == 0 then
return 0
else if n == 1 then
return a[0] - a[1]
else
s = sum(n-1)
return s + (-1)^n * a[n-1]

其中 $a$ 为存储系数的数组，下标从 $0$ 开始。

以上递归算法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$，因为需要保存前 $n-1$ 项和的值。如果用迭代的方式实现，可以将空间复杂度优化到 $O(1)$，时间复杂度不变，但迭代实现可能会比递归更难理解和维护。

### 回答3：
简单交错幂级数是指幂级数项与项之间交错的幂级数。递归是指一个函数在执行过程中会不断地调用自己。

我们可以通过递归的方式求简单交错幂级数的部分和。假设有一个简单交错幂级数：

$$S = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \cdots$$

可以将该幂级数分为两部分：

$$S = (a_0 - a_1) + (a_2 - a_3) + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (a_{2k} - a_{2k+1})$$

我们可以使用递归函数 $f(n)$ 来计算简单交错幂级数的前 $n$ 项和，其中 $n$ 是正整数。 $f(n)$ 的定义如下：

$$f(n) =\begin{cases}\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k (a_{2k} - a_{2k+1}) & n \text{ 为偶数} \\ \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k (a_{2k} - a_{2k+1}) + (-1)^n a_n & n \text{ 为奇数}\end{cases}$$

在递归函数中，如果 $n$ 是偶数，则递归返回 $\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k (a_{2k} - a_{2k+1})$；如果 $n$ 是奇数，则递归返回 $\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k (a_{2k} - a_{2k+1}) + (-1)^n a_n$，即简单交错幂级数的前 $n-1$ 项加上第 $n$ 项的负数。当递归到 $n=0$ 时，递归函数返回 0。

递归函数的代码如下：

double f(int n) {
    if (n == 0) {
        return 0;
    }
    if (n % 2 == 0) {
        return f(n-1) + (-1)^(n-1) * (a_{n-1} - a_{n});
    } else {
        return f(n-1) + (-1)^n * a_n;
    }
}

其中，$a_k$ 表示简单交错幂级数的第 $k$ 项。我们可以通过调用下面的语句来计算简单交错幂级数的前 $n$ 项和：

double sum = f(n);

最后，我们需要注意一个问题，就是在实际实现中，由于计算机精度的限制，当幂级数的项数较大时会出现精度误差，导致计算结果不准确，需要加入一定的调整机制。