matlab实现基于最速下降法Goldstein-Price函数的极小值确定

好的，我可以为您提供一个基于最速下降法的极小值确定的 MATLAB 程序，以 Goldstein-Price 函数为例。以下是程序代码：

function [x_star, f_star, iter] = steepest_descent(fun, grad, x0)
% fun: 目标函数
% grad: 目标函数的梯度
% x0: 初始点

max_iter = 1000; % 最大迭代次数
tolerance = 1e-6; % 迭代停止的容差
rho = 0.5; % 阻尼系数
c1 = 1e-4; % Armijo准则的参数
c2 = 0.9; % Goldstein准则的参数

x = x0;
iter = 0;
while iter < max_iter
    grad_x = grad(x);
    alpha = 1; % 初始化步长
    while fun(x - alpha * grad_x) > fun(x) - c1 * alpha * norm(grad_x)^2 % Armijo准则
        alpha = rho * alpha;
    end
    f_x = fun(x);
    f_x_alpha = fun(x - alpha * grad_x);
    while f_x_alpha > f_x - c2 * alpha * grad_x' * grad_x % Goldstein准则
        alpha = alpha * rho;
        f_x_alpha = fun(x - alpha * grad_x);
    end
    x = x - alpha * grad_x; % 更新x
    if norm(grad_x) < tolerance % 梯度小于容差，则认为已经收敛
        break;
    end
    iter = iter + 1;
end

x_star = x;
f_star = fun(x_star);

end

这个函数使用了 Armijo 准则和 Goldstein 准则来确定步长，以保证每次迭代都能取得足够的下降，从而提高收敛速度。在每次迭代中，我们计算目标函数的梯度，然后使用 Armijo 准则确定步长。接着，我们使用 Goldstein 准则进一步调整步长，以确保步长能够使目标函数在当前梯度方向上有足够的下降。最后，我们更新当前点的位置。如果梯度的范数小于容差，则认为已经收敛。

您可以将这个函数与您的目标函数和梯度一起使用。例如，假设您的目标函数是 Goldstein-Price 函数，可以按以下方式调用该函数：

fun = @(x) (1 + (x(1) + x(2) + 1)^2 * (19 - 14*x(1) + 3*x(1)^2 - 14*x(2) + 6*x(1)*x(2) + 3*x(2)^2)) * ...
           (30 + (2*x(1) - 3*x(2))^2 * (18 - 32*x(1) + 12*x(1)^2 + 48*x(2) - 36*x(1)*x(2) + 27*x(2)^2)); % Goldstein-Price函数
grad = @(x) [-4*x(1)*(1+(x(1)+x(2)+1)^2*(19-14*x(1)+3*x(1)^2-14*x(2)+6*x(1)*x(2)+3*x(2)^2)) - ...
             2*(2*x(1)-3*x(2))*(30+(2*x(1)-3*x(2))^2*(18-32*x(1)+12*x(1)^2+48*x(2)-36*x(1)*x(2)+27*x(2)^2));
             -6*x(2)*(1+(x(1)+x(2)+1)^2*(19-14*x(1)+3*x(1)^2-14*x(2)+6*x(1)*x(2)+3*x(2)^2)) - ...
             2*(2*x(1)-3*x(2))*(30+(2*x(1)-3*x(2))^2*(18-32*x(1)+12*x(1)^2+48*x(2)-36*x(1)*x(2)+27*x(2)^2))]; % Goldstein-Price函数的梯度
x0 = [-0.5; 0.5]; % 初始点
[x_star, f_star, iter] = steepest_descent(fun, grad, x0); % 使用最速下降法求解
disp(['x_star = ', num2str(x_star')]); % 输出极小值点
disp(['f_star = ', num2str(f_star)]); % 输出极小值
disp(['迭代次数 = ', num2str(iter)]); % 输出迭代次数

这将输出 Goldstein-Price 函数的极小值点和极小值，以及使用的迭代次数。

希望这可以回答您的问题。如果您有任何其他问题，请随时问我。