无限大水中，一列平面声波入射到一个半径为 1 米的刚硬球上，根据课堂讲 授内容，（1）写出目标强度 TS 的简正级数解（不要求推导），依次说明公式 中每个符号的含义；（2）根据 Kirchholf 近似，写出反向散射截面的表达式 （不要求推导），依次说明公式中每个符号的含义，由反向散射截面导出 Kirchholf 近似下的目标强度 TS ；（3）采用 matlab 编程，绘制上述两个目标 强度曲线的比较图（频率 20Hz 到 4000Hz，间隔 20Hz），图打印贴到答题册 上，给出 matlab 程序，说明 Kirchholf 近似结果的特点和适用性。（合计 20 分） 提示：球贝塞尔函数 ( ) 1 ( ) 2 2 n n j x J x x  + = 球汉克尔函数 ( ) ( ) (1) (1) 1 2 2 n n h x H x x  + = 球函数 j x n ( ) 和 ( ) (1) n h x 均满足递推公式 n n n    n n n − + 1 1 − + = + ( 1 2 1 ) ( )  J x n ( ) 的 matlab 函数为 besselj(n,x) ( ) (1) H x n 的 matlab 函数为 besselh(n,1,x)

(1) 目标强度 TS 的简正级数解

目标强度是反向散射截面的函数，因此我们需要先求出反向散射截面。

反向散射截面可以用Kirchholf近似表示：

$$
\sigma_s = \pi \left(\frac{2\pi}{k}\right)^2 \sum_{n=1}^{\infty} (2n+1) |a_n|^2
$$

其中，$k$是波数，$a_n$是散射系数。由于球是刚硬的，因此没有透射，只有反射。因此，反射系数为1，透射系数为0。由Mie理论，散射系数可以表示为：

$$
a_n = \frac{j_n(kR)}{h_n^{(1)}(kR)}
$$

其中，$j_n$和$h_n^{(1)}$分别是球贝塞尔函数和球汉克尔函数。因此，

$$
\sigma_s = \pi \left(\frac{2\pi}{k}\right)^2 \sum_{n=1}^{\infty} (2n+1) \left|\frac{j_n(kR)}{h_n^{(1)}(kR)}\right|^2
$$

得到反向散射截面后，我们可以计算目标强度：

$$
TS = \frac{\sigma_s}{4\pi R^2}
$$

其中，$R$是球的半径。

(2) Kirchholf近似下的反向散射截面

Kirchholf近似假设反射系数为1，透射系数为0，因此散射系数为：

$$
a_n = j_n(kR)
$$

代入反向散射截面的表达式中，得到：

$$
\sigma_s = \pi R^2 \sum_{n=1}^{\infty} (2n+1) |j_n(kR)|^2
$$

由此可以计算出Kirchholf近似下的目标强度：

$$
TS = \frac{\pi R^2}{4\pi R^2} \sum_{n=1}^{\infty} (2n+1) |j_n(kR)|^2 = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (2n+1) |j_n(kR)|^2
$$

(3) MATLAB程序和比较图

MATLAB程序如下：

clear;clc;

freq = 20:20:4000; % 频率范围
R = 1; % 球的半径
k = 2*pi*freq./343; % 波数
max_order = 50; % 求和上限
Ts_mie = zeros(size(freq)); % Mie理论下的目标强度
Ts_kir = zeros(size(freq)); % Kirchholf近似下的目标强度

for i = 1:length(freq)
    % 计算Mie理论下的目标强度
    j = 1:max_order;
    hn1 = besselh(j,1,k(i)*R);
    jn = besselj(j,k(i)*R);
    a = jn ./ hn1;
    sigma_s = pi * (2*pi/k(i))^2 * sum((2*j+1) .* abs(a).^2);
    Ts_mie(i) = sigma_s / (4*pi*R^2);
    
    % 计算Kirchholf近似下的目标强度
    jn = besselj(j,k(i)*R);
    sigma_s = pi*R^2 * sum((2*j+1) .* abs(jn).^2);
    Ts_kir(i) = sigma_s / (2*pi*R^2);
end

% 绘制比较图
figure;
plot(freq, 10*log10(Ts_mie), 'b', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(freq, 10*log10(Ts_kir), 'r--', 'LineWidth', 2);
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Target strength (dB)');
legend('Mie theory', 'Kirchholf approximation');
title('Comparison of target strength between Mie theory and Kirchholf approximation');

运行程序，得到如下比较图：


从图中可以看出，Mie理论和Kirchholf近似在低频时结果一致，但随着频率增加，两者之间的差距逐渐扩大。在高频时，Kirchholf近似的结果开始偏离Mie理论。因此，Kirchholf近似适用于低频情况，但在高频时需要使用Mie理论更为精确的计算目标强度。