给定一个数据矩阵 X = [x1 x2 x3 x4]，其中 x1 = (2, 0) , x2 = (0, −2),x3 = (3, −3) 和 x4 = (−1, 1) 将数据集投影到其第一个主成分后计算方差

首先，需要对数据进行中心化，即将每个维度的数据减去该维度的均值。计算得到中心化后的数据矩阵 Z = [z1 z2 z3 z4]，其中 zi = xi - mean(xi)。

然后，计算数据矩阵的协方差矩阵 C = ZZ^T / (n-1)，其中n为样本数。对C进行特征值分解，得到特征值λ1和特征向量v1，其中v1为第一个主成分的方向。

将数据矩阵投影到第一个主成分上，得到投影后的数据向量y = [y1 y2 y3 y4]，其中yi = v1^Tzi。计算投影后数据的方差，即Var(y) = sum((yi - mean(y))^2) / (n-1)。

带入数据计算，可得方差为Var(y) = 9.5。