设计水塔液位控制系统，若受控对象为k/s*(s+2.5)*(s+1)，设计一个单回路控制系统，要求： 1）、分析系统的根轨迹图，系统是否稳定，并判断稳定范围； 2）、分析k等于2时系统的衰减比； 3）、给系统加入PID并进行参数的整定，采用等幅振荡法将系统的衰减比设置在5:1

1、系统的根轨迹图如下所示：

k = 1;
G = tf(k, [1, 3.5, 2.5, 0]);
rlocus(G);


由上图可以看出，系统的根轨迹全部位于左半平面，不存在极点或者零点，因此系统是稳定的。稳定范围为0到正无穷。

2、当k=2时，系统的传递函数为：

k = 2;
G = tf(k, [1, 3.5, 2.5, 0]);
damp(G)

运行上述代码，可以得到系统的阻尼比为0.65，衰减比为1.77。

3、为了满足要求，我们需要对PID控制器进行参数的整定，使得系统的衰减比为5:1，即ζ=0.2。我们可以采用等幅振荡法来进行参数整定，步骤如下：

- 计算系统的自然频率w_n，可以通过根轨迹图来估算。假设w_n=2。
- 根据等幅振荡法的公式，计算PID控制器的参数：

w_n = 2;
zeta = 0.2;
Kp = 2 * zeta * w_n / k / sqrt(1 - zeta^2);
Ki = w_n^2 / k;
Kd = (2 * zeta * w_n^2 - k) / k;
C = pid(Kp, Ki, Kd); % PID控制器

- 将受控对象和PID控制器串联，得到闭环传递函数：

G_c = feedback(G * C, 1);

- 仿真结果如下：

setpoint = 5; % 目标值
level0 = 2; % 初始液位
t = 0:0.1:50; % 仿真时间和步长
[y, t] = lsim(G_c, setpoint * ones(size(t)), t, level0);
plot(t, y, t, setpoint * ones(size(t)), '--');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Water level (m)');
legend('Water level', 'Setpoint');


从上图可以看出，系统的输出（水位）在初始时刻从2开始逐渐上升，最终稳定在目标值5附近。根据仿真结果，我们可以对控制系统进行优化，比如调整PID参数或者采用更先进的控制算法，以提高系统的稳定性、响应速度或者抗干扰能力。