自注意力机制的数学推导

自注意力机制（Self-Attention Mechanism）是Transformer模型中的核心部分，它可以对输入序列中的不同位置进行加权处理，使得模型可以更加准确地捕捉序列中的关系和语义。

以下是自注意力机制的数学推导：

假设输入序列为 $X=\{x_1, x_2, ..., x_n\}$，其中 $x_i$ 是序列中的第 $i$ 个元素，$n$ 是序列的长度。我们将每个元素 $x_i$ 都映射到 $d$ 维空间中，得到一个矩阵 $X \in R^{n \times d}$。

那么，自注意力机制的计算过程如下：

1. 对输入 $X$ 进行三次线性变换，得到三个矩阵 $Q \in R^{n \times d'}$、$K \in R^{n \times d'}$、$V \in R^{n \times d'}$，其中 $d'$ 是每个矩阵的维度，这三个矩阵分别表示输入序列 $X$ 的查询、键、值。

$$Q = XW_Q, \ K = XW_K, \ V = XW_V$$

其中 $W_Q \in R^{d \times d'}$、$W_K \in R^{d \times d'}$、$W_V \in R^{d \times d'}$ 是可学习的权重矩阵。

2. 计算注意力分数 $S$，即每个查询 $q_i$ 与所有键 $k_j$ 的相似度：

$$S_{i,j} = q_i \cdot k_j^T$$

其中 $\cdot$ 表示向量点积操作。

3. 将注意力分数 $S$ 进行缩放操作，得到缩放后的分数 $\hat{S}$：

$$\hat{S}_{i,j} = \frac{S_{i,j}}{\sqrt{d'}}$$

4. 将缩放后的分数 $\hat{S}$ 进行 softmax 操作，得到注意力权重矩阵 $A$：

$$A_{i,j} = \frac{\exp(\hat{S}_{i,j})}{\sum_{k=1}^n \exp(\hat{S}_{i,k})}$$

5. 将注意力权重矩阵 $A$ 与值矩阵 $V$ 进行加权求和，得到最终的输出矩阵 $Y$：

$$Y_i = \sum_{j=1}^n A_{i,j} \cdot V_j$$

其中 $Y \in R^{n \times d'}$。

这样，我们就完成了自注意力机制的计算过程。通过这个过程，模型可以自动地学习到不同位置之间的关系，从而更好地捕捉序列中的语义信息。