给出自然数 � n，要求按如下方式构造数列： 只有一个数字 � n 的数列是一个合法的数列。 在一个合法的数列的末尾加入一个自然数，但是这个自然数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列。 请你求出，一共有多少个合法的数列。两个合法数列 � , � a,b 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 � ≤ ∣ � ∣ i≤∣a∣，使得 � � ≠ � � a i ​  =b i ​ 。

这个题目可以使用动态规划来解决。

设 $f_i$ 表示以 $i$ 为结尾的合法数列的个数，那么 $f_i$ 可以由 $f_{i/2}, f_{i/2-1}, \cdots, f_1$ 转移而来。

具体地，当 $j \in [1, i/2]$ 时，若 $i$ 可以接在以 $j$ 为结尾的合法数列后面，则 $f_i$ 可以加上 $f_j$。

最终答案即为 $\sum_{i=1}^n f_i$。

根据上述转移方程，我们可以使用状态压缩 DP 来解决这个问题。时间复杂度为 $O(n^2)$。

以下是Python代码实现：

n = int(input())

f = [0] * (n + 1)
f[1] = 1

for i in range(2, n + 1):
    for j in range(1, i // 2 + 1):
        if i % j == 0 and j <= i // 2:
            f[i] += f[j]
print(sum(f))

以上代码中，我们先读入自然数 $n$，然后初始化 $f_1=1$。接着，我们从 $2$ 开始循环，对于每个 $i$，我们枚举 $j$，若 $i$ 可以接在以 $j$ 为结尾的合法数列后面，则将 $f_i$ 加上 $f_j$。最终，我们输出 $\sum_{i=1}^n f_i$ 即可得到答案。

相关问题

1. 编写一个函数文件，求小于任意自然数n的Fibnacci数列各项。Fibnacci数列定义如下：

当然可以。Fibonacci数列是一个经典的数学序列，其特点是每个数字都是前两个数字之和，通常开始两项是0和1。比如，前几项是0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...以此类推。

为了编写一个函数文件，用于计算小于任意自然数n的Fibonacci数列，你可以采用递归或者迭代的方式。下面是一个简单的Python示例，使用迭代方法：

def fibonacci(n):
    fib_sequence = []
    a, b = 0, 1

    # 迭代直到达到或超过n
    while a < n:
        fib_sequence.append(a)
        a, b = b, a + b

    return fib_sequence

# 调用函数并打印结果
n = int(input("请输入一个自然数："))
fib_numbers = fibonacci(n)
print(f"小于{n}的Fibonacci数列为：{fib_numbers}")

在这个函数中，我们初始化两个变量a和b作为起始点，并在每次循环中更新它们，直到a不再小于n。然后将a添加到结果列表中。最后返回这个Fibonacci序列。

编写一个函数文件，求小于任意自然数n的斐波那契（Fibnacci）数列各项。斐波那契数列定义如下：

要编写一个计算小于任意自然数 `n` 的斐波那契数列的函数，首先我们需要了解斐波那契数列的基本规则：第 0 项 (`F_0`) 和第 1 项 (`F_1`) 都等于 1，从第三项开始 (`F_n`) 等于前两项之和。我们可以用 Python 编写一个简单的递归函数或迭代的方式来实现这个功能。

下面是使用 Python 的递归和迭代两种方法：

1. **递归实现**:

def fibonacci_recursive(n):
    # 斐波那契数列的边界条件
    if n <= 0:
        return []
    elif n == 1 or n == 2:
        return [1]
    else:
        fib_sequence = fibonacci_recursive(n - 1)
        fib_sequence.append(fib_sequence[-1] + fib_sequence[-2])
        return fib_sequence[:n]

# 例如，获取小于10的所有斐波那契数
fib_sequence_less_than_10 = fibonacci_recursive(10)

注意，递归方式虽然简洁，但对于大的 `n` 可能会非常慢，因为重复计算较多。

2. **迭代实现**:

def fibonacci_iterative(n):
    fib_sequence = [1, 1]  # 初始化序列
    while len(fib_sequence) < n:
        fib_sequence.append(fib_sequence[-1] + fib_sequence[-2])  # 添加新元素
    return fib_sequence[:n]

# 获取小于10的所有斐波那契数
fib_sequence_less_than_10_iterative = fibonacci_iterative(10)

迭代方法更高效，因为它避免了重复计算。