给出自然数 � n,要求按如下方式构造数列: 只有一个数字 � n 的数列是一个合法的数列。 在一个合法的数列的末尾加入一个自然数,但是这个自然数不能超过该数列最后一项的一半,可以得到一个新的合法数列。 请你求出,一共有多少个合法的数列。两个合法数列 � , � a,b 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 � ≤ ∣ � ∣ i≤∣a∣,使得 � � ≠ � � a i =b i 。
时间: 2024-03-25 18:37:45 浏览: 18
这个题目可以使用动态规划来解决。
设 $f_i$ 表示以 $i$ 为结尾的合法数列的个数,那么 $f_i$ 可以由 $f_{i/2}, f_{i/2-1}, \cdots, f_1$ 转移而来。
具体地,当 $j \in [1, i/2]$ 时,若 $i$ 可以接在以 $j$ 为结尾的合法数列后面,则 $f_i$ 可以加上 $f_j$。
最终答案即为 $\sum_{i=1}^n f_i$。
根据上述转移方程,我们可以使用状态压缩 DP 来解决这个问题。时间复杂度为 $O(n^2)$。
以下是Python代码实现:
```python
n = int(input())
f = [0] * (n + 1)
f[1] = 1
for i in range(2, n + 1):
for j in range(1, i // 2 + 1):
if i % j == 0 and j <= i // 2:
f[i] += f[j]
print(sum(f))
```
以上代码中,我们先读入自然数 $n$,然后初始化 $f_1=1$。接着,我们从 $2$ 开始循环,对于每个 $i$,我们枚举 $j$,若 $i$ 可以接在以 $j$ 为结尾的合法数列后面,则将 $f_i$ 加上 $f_j$。最终,我们输出 $\sum_{i=1}^n f_i$ 即可得到答案。
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快速创建一个列是自然数数列,每一行都相同的np.array
可以使用numpy库中的arange函数来创建自然数数列,然后使用numpy库中的tile函数将数组在行方向上重复。
以下是示例代码:
```python
import numpy as np
# 创建自然数数列
arr = np.arange(1, 6)
# 在行方向上重复数组
result = np.tile(arr, (3, 1))
print(result)
```
输出结果为:
```
[[1 2 3 4 5]
[1 2 3 4 5]
[1 2 3 4 5]]
```
这里的参数`(3, 1)`表示在行方向上重复3次,在列方向上重复1次。因为我们想要每一行都相同,所以在列方向上不需要重复。