分别用简单蒙特卡罗估计、对偶蒙特卡积分、控制变量蒙特卡罗积分、重要抽样蒙特卡洛积分,分层抽样蒙特卡洛积分估计e^-x/(1+x^2)的积分
时间: 2024-05-29 07:11:04 浏览: 14
首先,我们需要明确积分的范围。由于e^-x/(1+x^2)是一个正函数,且在x趋近于正无穷时,其值趋近于0,因此我们可以将积分范围设为[0,正无穷)。
简单蒙特卡罗估计:
1. 随机生成N个在[0,正无穷)范围内的x值。
2. 对于每个x值,计算f(x)的值,即e^-x/(1+x^2)。
3. 计算所有f(x)值的平均数,并乘以积分范围的长度(正无穷),得到积分的估计值。
对偶蒙特卡积分:
1. 将原函数f(x)乘以一个对称的函数g(x),使得g(x)在[0,正无穷)范围内也是正函数且趋近于0。例如,可以选择g(x)=e^-x。
2. 随机生成N个在[0,正无穷)范围内的x值。
3. 对于每个x值,计算f(x)g(x)的值。
4. 计算所有f(x)g(x)值的平均数,并乘以积分范围的长度(正无穷),再除以g(x)在[0,正无穷)范围内的平均值,得到积分的估计值。
控制变量蒙特卡罗积分:
1. 观察原函数f(x),发现其分母1+x^2的值在[0,正无穷)范围内变化不大,可以将其视为控制变量。
2. 随机生成N个在[0,正无穷)范围内的x值,并对每个x值计算1+x^2的值。
3. 对于每个x值,利用控制变量的方法,计算f(x)的值。
4. 计算所有f(x)值的平均数,并乘以积分范围的长度(正无穷),得到积分的估计值。
重要抽样蒙特卡洛积分:
1. 观察原函数f(x),发现其在[0,1]范围内变化较大,因此可以选择在[0,1]范围内的概率密度函数q(x)作为抽样分布。
2. 选择q(x)为均匀分布,即q(x)=1,因此可以直接从[0,1]范围内抽取N个均匀分布的随机数。
3. 对于每个随机数x,计算f(x)的值,并乘以f(x)/q(x)的值,即e^-x/(1+x^2)。
4. 计算所有f(x)/q(x)值的平均数,并乘以积分范围的长度(正无穷),得到积分的估计值。
分层抽样蒙特卡洛积分:
1. 将积分范围[0,正无穷)分成若干个层,每个层的长度相等。
2. 对于每个层,选择一个随机数作为该层的代表点,代表点的选择可以使用均匀分布或其他概率分布。
3. 对于每个代表点x,计算该层内f(x)的值,并乘以该层长度。
4. 将所有代表点的f(x)值的和除以积分范围的长度(正无穷),得到积分的估计值。
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