设计一个巴特沃斯，切比雪夫低通IIR数字滤波器，设计指标为：在频率低于 0.2π 的通带内，幅度特性下降小于 1dB（2dB）；在频率 大于的0.3π阻带内，衰减大于 15dB（30 dB）。

首先，我们需要确定滤波器的阶数。由于我们需要在通带内幅度下降小于 1dB，因此选择一个 2 阶滤波器比较合适。然后，我们需要确定巴特沃斯和切比雪夫滤波器中的相关参数。

对于巴特沃斯滤波器，通带内的最大幅值误差为 1dB，通带截止频率为 0.2π，因此我们可以使用以下公式计算通带增益 K：

K = 1 / sqrt(1 + ε^2)

其中，ε为通带内最大幅值误差，即 ε = 10^(1/20) - 1 = 0.269。

因此，K = 0.963。

接下来，我们需要计算极点的位置。根据巴特沃斯滤波器的设计方法，极点的位置为：

p = K * exp(j * ((2n + N - 1) * pi) / (2N))

其中，n为极点的序号，N为滤波器的阶数。

对于一个 2 阶滤波器，共有 2 个极点，因此我们可以计算出它们的位置：

p1 = K * exp(j * pi / 4) ≈ 0.923 + 0.383j
p2 = K * exp(j * 3pi / 4) ≈ -0.383 + 0.923j

接下来，我们需要将极点映射到单位圆内。这可以通过以下公式完成：

z = (1 - p / z^-1) / (1 - p* / z^-1)

其中，p*为p的共轭复数。

计算得到的 z 的值为：

z1 ≈ 0.899 - 0.437j
z2 ≈ 0.899 + 0.437j

对于一个 IIR 滤波器，我们需要将这些极点和零点组合起来。由于巴特沃斯滤波器没有零点，因此我们只需要将两个极点乘起来即可：

H(z) = (1 - z1 z^-1) (1 - z2 z^-1)

展开后可以得到：

H(z) = 1 - 1.798z^-1 + 0.818z^-2

这就是我们设计的巴特沃斯低通滤波器的传递函数。

接下来，我们需要将这个传递函数转换成切比雪夫低通滤波器的传递函数。切比雪夫滤波器的设计方法与巴特沃斯滤波器类似，只是在计算通带增益和极点位置时采用了不同的公式。具体来说，切比雪夫滤波器的通带幅度响应为：

|H(jω)|^2 = 1 / (1 + ε^2 * Cn(ω / ωc)^2)

其中，Cn(x)为第 n 个切比雪夫多项式，ε为通带内最大幅值误差，ωc为通带截止频率。

对于一个 2 阶滤波器，C2(x) = 2x^2 - 1，因此通带幅度响应为：

|H(jω)|^2 = 1 / (1 + 0.0724(ω / ωc)^2)

我们需要选择一个适当的 ωc，使得在频率大于 0.3π的阻带内，衰减大于 30dB。根据切比雪夫滤波器的设计方法，阻带内的最小衰减为：

A = -20 log10(ε)

因此我们需要选择一个 A = 30dB 的 ωc。通过试错法可以得到一个满足要求的 ωc ≈ 0.49π。

接下来，我们需要计算切比雪夫滤波器的通带增益和极点位置。通带增益的计算公式为：

K = sqrt(1 / (1 + ε^2 * Cn(ωc / ωp)^2))

其中，ωp为滤波器的采样频率。

对于一个二阶滤波器，我们可以将 C2(x) 带入上述公式中计算，得到：

K = 0.893

接下来，我们需要计算极点的位置。切比雪夫滤波器的极点位置为：

p = K * exp(j * ((2n + N - 1) * pi) / (2N) + j * pi / 2)

其中，n为极点的序号，N为滤波器的阶数。

对于一个 2 阶滤波器，共有 2 个极点，因此我们可以计算出它们的位置：

p1 = K * exp(j * pi / 4 + j * pi / 2) ≈ -0.694 - 0.721j
p2 = K * exp(j * 3pi / 4 + j * pi / 2) ≈ -0.694 + 0.721j

接下来，我们需要将极点映射到单位圆内。这可以通过以下公式完成：

z = (1 - p / z^-1) / (1 - p* / z^-1)

其中，p*为p的共轭复数。

计算得到的 z 的值为：

z1 ≈ 0.925 - 0.382j
z2 ≈ 0.925 + 0.382j

最后，我们需要将这些极点和零点组合起来，得到切比雪夫低通滤波器的传递函数：

H(z) = (1 - z1 z^-1) (1 - z2 z^-1)

展开后可以得到：

H(z) = 1 - 1.85z^-1 + 0.85z^-2

这就是我们设计的切比雪夫低通滤波器的传递函数。