GPR模型的具体公式驾驶
时间: 2023-11-12 09:05:47 浏览: 59
GPR模型的具体公式如下:
假设我们有一组输入-输出数据$(X,y)$,其中$X$是输入的特征向量(可以是多维的),$y$是对应的输出值。
我们的目标是构建一个函数$f(x)$,将输入特征向量$x$映射到输出值$y$,同时还要对未知数据进行预测。
GPR模型使用高斯分布来建模$f(x)$,即:
$$f(x) \sim \mathcal{GP}(m(x),k(x,x'))$$
其中,$m(x)$是均值函数,$k(x,x')$是协方差函数,$\mathcal{GP}$表示高斯过程。
对于给定的一组输入特征向量$X$,我们可以构建其对应的输出$y$的高斯分布:
$$y \sim \mathcal{N}(f(X),\sigma^2I)$$
其中,$f(X)$是输入特征向量$X$对应的输出均值向量,$\sigma^2$是噪声方差,$I$是单位矩阵。
给定一组训练数据$(X,y)$,我们可以通过最大化训练数据的边缘似然函数来求解出均值函数和协方差函数的参数。具体而言,我们可以通过求解以下最优化问题来得到模型的参数:
$$\max_{m,k} \log p(y|X,m,k) = -\frac{1}{2}y^T(K+\sigma^2I)^{-1}y - \frac{1}{2}\log|K+\sigma^2I| - \frac{n}{2}\log 2\pi$$
其中,$n$是数据点的数量,$K$是协方差矩阵,$K_{ij} = k(x_i,x_j)$。
在求解出模型的参数之后,我们就可以利用训练数据来预测新的未知数据点的输出值。具体而言,对于一个输入特征向量$x_*$,其对应的输出值$y_*$的预测值为:
$$\hat{y_*} = f(x_*) = k(x_*,X)(K+\sigma^2I)^{-1}y$$
其中,$k(x_*,X)$是$x_*$和训练数据$X$之间的协方差向量,$y$是训练数据的输出向量。
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