给定一个有序数组 A[1..n]，其中元素各不相同，要求确认是否存在一个数组索引 i，使得 A[ i ] = i。（假设若 i<j 则 A[i]<A[j]） （1）给出一个针对以上任务的分治算法（必须使用伪代码描述，不得使用具体程序语言的实际编码），要求该算法的运行时间为 O(log n)。 （2）写出你所设计的算法的时间复杂度的递推关系式和初值，并验证其时间复杂度为 O(log n)。

1. 下面是一个用伪代码实现的分治算法，用于确认有序数组A中是否存在一个索引i，使得A[i] = i。该算法的时间复杂度为O(log n)。

function find_index(A, start, end)
    if start > end
        return -1
    else
        mid = (start + end) / 2
        if A[mid] == mid
            return mid
        elif A[mid] < mid
            return find_index(A, mid+1, end)
        else
            return find_index(A, start, mid-1)

该算法首先检查数组A的大小。如果A的大小为0，则不存在一个索引i，使得A[i] = i。否则，算法将数组A分成两个大小相等的子数组，并递归地查找每个子数组中是否存在一个索引i，使得A[i] = i。如果找到了这样的索引，则返回该索引。否则，根据数组元素的大小关系，选择一个子数组进行递归查找。最后，如果在整个数组中都没有找到这样的索引，则返回-1。

在该算法中，递归的基本情况是当数组A的大小为0时。递归的一般情况是将数组A分成两个大小相等的子数组，并递归地查找每个子数组中是否存在一个索引i，使得A[i] = i。在每个递归层次中，该算法执行常量次数的比较和赋值操作，因此，该算法的时间复杂度为O(log n)。

2. 该算法的时间复杂度的递推关系式为：

T(n) = T(n/2) + O(1)

其中，T(n)表示在长度为n的数组中查找一个索引i，使得A[i] = i所需的时间。该递推关系式的初值为T(0) = O(1)，表示在一个空数组中查找索引i所需的时间为常量级别。

可以使用主定理来证明该算法的时间复杂度为O(log n)。根据主定理，如果一个递归算法的时间复杂度的递推关系式为T(n) = aT(n/b) + f(n)，其中a≥1，b>1，f(n)是非负函数，则该算法的时间复杂度为：

- 如果f(n) = O(n^d)，其中d≥0且a<b^d，则T(n) = O(n^d)；
- 如果f(n) = Θ(n^d)，其中d≥0且a=b^d，则T(n) = O(n^d log n)；
- 如果f(n) = Ω(n^d)，其中d>0且a>b^d，则T(n) = O(f(n))。

对于该算法，a = 1，b = 2，f(n) = O(1)。因此，根据主定理的第二种情况，该算法的时间复杂度为O(log n)。