用TOPSIS法计算例题Matlab

TOPSIS法是一种多属性决策分析方法，可以用于评估多个决策方案的表现，并确定最佳方案。下面是一个用Matlab进行TOPSIS法计算的例子。

假设有以下4个决策方案：

|方案|目标1|目标2|目标3|目标4|
|---|---|---|---|---|
|A|60|80|70|90|
|B|70|70|80|80|
|C|80|60|90|70|
|D|90|50|60|60|

现在我们使用TOPSIS法来确定最佳方案。以下是步骤：

1. 标准化决策矩阵

将每个指标的数值标准化到0到1之间，可以使用以下公式：

$$x_{ij}^{'}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{ij}^2}}$$

其中，$x_{ij}$是第$i$个决策方案的第$j$个指标值，$x_{ij}^{'}$是标准化后的值。

在Matlab中，可以使用以下代码标准化决策矩阵：

X = [60 80 70 90;
     70 70 80 80;
     80 60 90 70;
     90 50 60 60];

[n,m] = size(X);
X_norm = zeros(n,m);

for j = 1:m
    X_norm(:,j) = X(:,j) ./ norm(X(:,j));
end

2. 确定权重

确定每个指标的权重，可以使用主成分分析（PCA）或层次分析法（AHP）等方法。这里我们假设已经确定权重为：

$$w=[0.25,0.3,0.25,0.2]$$

在Matlab中，可以使用以下代码指定权重：

w = [0.25, 0.3, 0.25, 0.2];

3. 计算正负理想解

计算每个指标的正负理想解，可以使用以下公式：

$$\begin{aligned}
x_{j}^{+}&=\max_{i=1}^{n}x_{ij}^{'}\\
x_{j}^{-}&=\min_{i=1}^{n}x_{ij}^{'}
\end{aligned}$$

在Matlab中，可以使用以下代码计算正负理想解：

X_plus = max(X_norm);
X_minus = min(X_norm);

4. 计算距离

计算每个决策方案到正负理想解的距离，可以使用以下公式：

$$\begin{aligned}
d_{i}^{+}&=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}w_j(x_{ij}^{'}-x_{j}^{+})^2}\\
d_{i}^{-}&=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}w_j(x_{ij}^{'}-x_{j}^{-})^2}
\end{aligned}$$

其中，$d_{i}^{+}$和$d_{i}^{-}$分别表示第$i$个决策方案到正负理想解的距离。

在Matlab中，可以使用以下代码计算距离：

D_plus = sqrt(sum(w .* (X_norm - repmat(X_plus,n,1)).^2, 2));
D_minus = sqrt(sum(w .* (X_norm - repmat(X_minus,n,1)).^2, 2));

5. 计算综合得分

计算每个决策方案的综合得分，可以使用以下公式：

$$s_i=\frac{d_{i}^{-}}{d_{i}^{+}+d_{i}^{-}}$$

其中，$s_i$表示第$i$个决策方案的综合得分。

在Matlab中，可以使用以下代码计算综合得分：

S = D_minus ./ (D_plus + D_minus);

6. 确定最佳方案

根据综合得分确定最佳方案。得分越高的方案越好。

在Matlab中，可以使用以下代码确定最佳方案：

[~,best] = max(S);

最终结果显示，最佳方案为C。