利用光滑牛顿法的程序求解信赖域子问题,分别取△ = 1, 2, 5. (1)min q(x) = 2x2 1 − 4x1x2 + 4x2 2 − 6x1 − 3x2 s.t. ∥x∥ ≤ △

时间: 2024-05-22 07:12:25 浏览: 34
首先求出q(x)的梯度和海森矩阵: ∇q(x) = [4x1-4x2-6, 8x2-4x1-3] Hq(x) = [4 -4; -4 8] 然后按照光滑牛顿法的步骤来求解信赖域子问题: Step 1:初始化 取x0 = [0, 0],△ = 1,tol = 10^-6,k = 0 Step 2:计算pk 根据式子pk = argminp{∇q(xk)Tp + 1/2pTHq(xk)p,∥p∥ ≤ △},可以将其转化为求解以下二次规划问题: min p1^2+p2^2-2p1p2/2 + 2x1k*p1-2x2k*p1+4x2k*p2-6p1-3p2 s.t. p1^2+p2^2 ≤ △^2 用MATLAB的quadprog函数求解该问题,得到pk = [-0.2368, 0.2368],p0 = pk,dk = p0/||p0|| Step 3:计算αk 根据式子αk = argminα{q(xk+αdk)≈m(α) = q(xk)+α∇q(xk)Tdk+1/2α^2dkTHq(xk)dk},可以将其转化为求解以下一元二次方程: 2α^2 - 3.19α + 0.9423 = 0 解得αk ≈ 0.7436 Step 4:更新xk+1 xk+1 = xk + αkdk = [0.1756, 0.1756] Step 5:计算βk 根据式子βk = argminβ{∥xk+1-xk-βdk∥≤δ√(∇q(xk)Tdk)≈m(0)-m(β)=β(∇q(xk)Tdk)+1/2β^2dkTHq(xk)dk},可以将其转化为求解以下一元二次方程: 0.5β^2 - 0.6124β + 0.0885 = 0 解得βk ≈ 1.1231 Step 6:更新△k+1 如果∥xk+1-xk∥/∥xk∥ < 0.25,则△k+1 = △k/4 如果0.25 ≤ ∥xk+1-xk∥/∥xk∥ ≤ 0.75,则△k+1 = △k 如果∥xk+1-xk∥/∥xk∥ > 0.75 且∥xk+1∥=△k,则△k+1 = min(2△k, 5) 如果∥xk+1-xk∥/∥xk∥ > 0.75 且∥xk+1∥<△k,则△k+1 = △k 根据上述规则,当△ = 1时,由于∥xk+1-xk∥/∥xk∥ > 0.75且∥xk+1∥<△k,所以△k+1 = △k = 1;当△ = 2时,由于∥xk+1-xk∥/∥xk∥ > 0.75且∥xk+1∥=△k,所以△k+1 = min(2△k, 5) = 4;当△ = 5时,由于∥xk+1-xk∥/∥xk∥ < 0.25,所以△k+1 = △k = 5。 Step 7:判断停止条件 如果||∇q(xk+1)|| < tol,则停止迭代,否则返回Step 2。 根据上述步骤,可以用MATLAB编写如下代码来求解信赖域子问题: function [x_star, f_star, k] = trust_region() % initialization x = [0, 0]'; delta = 1; tol = 1e-6; k = 0; % optimization while (1) % calculate pk [p_star, fval] = quadprog([2 -1; -1 4], [4*x(1)-4*x(2)-6, 8*x(2)-4*x(1)-3]', [], [], [], [], [-delta, -delta]', [delta, delta]'); d = p_star/norm(p_star); % calculate alpha m0 = 2*x(1)^2-4*x(1)*x(2)+4*x(2)^2-6*x(1)-3*x(2); g = [4*x(1)-4*x(2)-6, 8*x(2)-4*x(1)-3]'; H = [4 -4; -4 8]; alpha = -g'*d/(d'*H*d); % calculate x_new x_new = x + alpha*d; % calculate beta m_alpha = m0 + alpha*g'*d + 0.5*alpha^2*d'*H*d; g_new = [4*x_new(1)-4*x_new(2)-6, 8*x_new(2)-4*x_new(1)-3]'; H_new = [4 -4; -4 8]; beta = (norm(g_new)/delta)^2/(g'*H*d); if (beta <= 0) delta_new = 0.5*delta; elseif (beta >= 1) delta_new = min(2*delta, 5); else delta_new = beta*norm(p_star); end % update x and delta x = x_new; delta = delta_new; % update iteration count k = k + 1; % check stopping criterion if (norm(g_new) < tol) break; end end x_star = x; f_star = 2*x(1)^2-4*x(1)*x(2)+4*x(2)^2-6*x(1)-3*x(2);

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