有一分数序列: 1/2-2/3+3/5--5/8+8/13-13/21..., 求出这个数列的前20项之和。

这个数列是一个交替求和的数列，可以看作是两个单独的数列相加，分别是正数项的数列和负数项的数列。

先来看正数项的数列，可以发现分子是递增的奇数，分母是递增的斐波那契数列。可以列出如下公式：

$\frac{1}{2} + \frac{3}{5} + \frac{8}{13} + \frac{21}{34} + \frac{55}{89} + \cdots$

其中的分子可以表示为 $a_n = F_{n+1}$，即第 $n+1$ 个斐波那契数；分母可以表示为 $b_n = F_{n+2}$，即第 $n+2$ 个斐波那契数。所以，正数项的数列可以表示为：

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}$

接下来看负数项的数列，可以发现分子是递减的奇数，分母也是递增的斐波那契数列。可以列出如下公式：

$-\frac{2}{3} - \frac{5}{8} - \frac{13}{21} - \frac{34}{55} - \frac{89}{144} - \cdots$

同样地，分子可以表示为 $a_n = -F_{n}$，即第 $n$ 个斐波那契数的相反数；分母仍然是 $b_n = F_{n+2}$，即第 $n+2$ 个斐波那契数。所以，负数项的数列可以表示为：

$-\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{F_{n}}{F_{n+2}}$

将两个数列相加，可以得到原始数列的公式：

$\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{3}{5} - \frac{5}{8} + \frac{8}{13} - \frac{13}{21} + \cdots$

将正数项和负数项的公式代入，可以得到：

$\begin{aligned} &\sum\limits_{n=0}^{19} \left(\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}} - \frac{F_n}{F_{n+2}}\right) \\ =& \frac{F_1}{F_2} - \frac{F_0}{F_2} + \frac{F_2}{F_3} - \frac{F_1}{F_3} + \frac{F_3}{F_4} - \frac{F_2}{F_4} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{21}} - \frac{F_{19}}{F_{21}} \\ =& \frac{F_{21}}{F_{22}} - \frac{F_0}{F_{22}} \\ =& \frac{10946}{17711} - \frac{1}{17711} \\ =& \frac{10945}{17711} \approx 0.6180339887 \end{aligned}$

所以，这个数列的前20项之和约为 0.6180339887。