c-c法求相空间重构和延迟时间的公式

相空间重构和延迟时间是时空重构方法中常用的两种方法。下面是使用c-c法求相空间重构和延迟时间的公式：

相空间重构：

首先需要确定重构时空的维度，通常使用一个包含多个变量的向量来表示。假设我们使用一个长度为m的向量X表示，其中包含n个时刻的观测值，则该向量的第i个分量表示X(i)=x(i), X(i+1)=x(i+τ), ..., X(i+(m-1)τ)=x(i+(m-1)τ)，其中τ表示延迟时间。重构出来的向量可以表示为X(i)=[x(i), x(i+τ), ..., x(i+(m-1)τ)]T。

延迟时间的确定：c-c法通过计算自相关函数来确定延迟时间。设X(t)是时刻t的观测值，则X(t)的自相关函数可以表示为R(τ)=E[(X(t)-μ)(X(t+τ)-μ)]/σ^2，其中μ是X(t)的均值，σ^2是X(t)的方差。通常取τ使得R(τ)在一定范围内具有最大值。

延迟时间τ的确定方法如下：

1. 计算X(t)的自相关函数R(τ)。

2. 寻找R(τ)的第一个极小值点τ1。

3. 寻找τ1之后第一个极大值点τ2，τ2即为延迟时间τ。

相空间重构后，可以使用各种方法进行数据分析和建模。

相关问题

采用C-C法进行相空间重构

C-C法（Cao's algorithm）是一种相空间重构方法，它的基本思想是利用时间延迟嵌入法，将原始数据映射到高维空间中，然后采用Cao等人提出的方法来减小重构误差。具体步骤如下：

1. 选择合适的时间延迟和嵌入维度，将原始数据通过时间延迟嵌入法映射到高维空间中。

2. 计算重构矩阵，对于每个高维空间中的点，找到其最近的k个邻居，并将它们作为列向量组成一个矩阵，即重构矩阵。

3. 对重构矩阵进行QR分解，得到一个上三角矩阵和一个正交矩阵。

4. 对上三角矩阵进行奇异值分解，得到一个奇异值向量和一个正交矩阵。

5. 根据奇异值向量的衰减情况，选择一个合适的截断点，将上三角矩阵和正交矩阵截断，得到一个新的重构矩阵。

6. 将新的重构矩阵投影回低维空间中，得到相空间重构后的数据。

以下是一个MATLAB代码实现C-C法进行相空间重构的过程：

% 导入数据
data = load('data.txt');

% 设置时间延迟和嵌入维度
delay = 10;
dim = 3;

% 时间延迟嵌入法
embed_data = zeros(length(data)-delay*(dim-1), dim);
for i = 1:dim
    embed_data(:,i) = data((i-1)*delay+1:end-(dim-i)*delay);
end

% 计算重构矩阵
k = 5;  % 最近邻个数
m = size(embed_data, 1);
W = zeros(m, k*dim);
for i = 1:m
    d = sqrt(sum((repmat(embed_data(i,:), m, 1)-embed_data).^2, 2));
    [~, idx] = sort(d);
    idx(1) = [];  % 去掉自身
    W(i,:) = reshape(embed_data(idx(1:k),:)', 1, []);
end

[Q, R] = qr(W);
[U, S, V] = svd(R);
s = diag(S);
tol = max(size(W))*eps(norm(s));
r = sum(s > tol);
R = R(1:r, 1:r);
Q = Q(:, 1:r);
embed_data_new = Q*R;

% 输出结果
figure;
plot3(embed_data_new(:,1), embed_data_new(:,2), embed_data_new(:,3), '.');
title('C-C法相空间重构结果');

其中，`data.txt`为数据文件，包含原始数据。`delay`和`dim`分别为时间延迟和嵌入维度。`k`为最近邻个数。`embed_data`为用时间延迟嵌入法映射到高维空间中的数据。`W`为重构矩阵。`Q`和`R`为QR分解后的矩阵，`U`和`S`为奇异值分解后的矩阵。`embed_data_new`为相空间重构后的数据。最后输出相空间重构结果。

相空间重构中求延迟时间的互信息法

相空间重构是一种非线性时间序列分析方法，它可以将一个一维时间序列重构成一个高维的相空间，从而揭示出时间序列中的非线性动力学特征。在相空间重构中，延迟时间是一个重要的参数，它表示在相空间中相邻点之间的时间间隔。为了确定最优的延迟时间，可以使用互信息法。

互信息法是一种常用的延迟时间选择方法，它是通过计算相邻两个时刻的数据点之间的互信息来评估延迟时间的大小。具体步骤如下：

1. 将原始一维时间序列进行重构，得到一个高维的相空间。

2. 选择不同的延迟时间，将相空间中的点按照延迟时间进行平移。

3. 计算相邻两个时刻的数据点之间的互信息，得到一个关于延迟时间的函数。

4. 找到互信息函数的峰值，该峰值对应的延迟时间即为最优的延迟时间。

需要注意的是，互信息法选择的延迟时间只是一个近似值，实际应用中还需要进行进一步的验证和优化。