证明:设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则(a,b)内存在n个互不相同的ξ1,ξ2,...,ξn,使得f'(ξ1)*f'(ξ2)*...*f'(ξn)=[(f(b)-f(a))/(b-a)]^n

这是一个比较经典的定理，称为柯西中值定理。下面给出证明：

当n=1时，由拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈(a,b)，使得(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(ξ)。因此等式成立。

假设当n=k时结论成立，即存在k个互不相同的ξ1,ξ2,...,ξk，使得f'(ξ1)*f'(ξ2)*...*f'(ξk)=[(f(b)-f(a))/(b-a)]^k。

考虑当n=k+1时，由拉格朗日中值定理可知，存在η∈(a,b)，使得

(f(η)-f(a))/(η-a)=f'(\xi_1)，其中\xi_1∈(a,η)

(f(b)-f(η))/(b-η)=f'(\xi_2)，其中\xi_2∈(η,b)

将上述两式相乘，得到

(f(b)-f(a))/[(b-a)*f'(\xi_1)*f'(\xi_2)]=[(f(b)-f(η))/(b-η)]/[(f(η)-f(a))/(η-a)]

注意到右侧是恒等于1的，因此有

f'(ξ_1)*f'(ξ_2)*...*f'(ξ_k)*[(f(b)-f(a))/(b-a)]=f'(η)*f'(ξ_1)*f'(ξ_2)*...*f'(ξ_k)*[(f(b)-f(η))/(b-η)]

移项化简可得

f'(ξ_1)*f'(ξ_2)*...*f'(ξ_k)*f'(η)=[(f(b)-f(a))/(b-a)]^(k+1)

因此当n=k+1时结论也成立。由数学归纳法可知，原命题成立。证毕。

相关问题

首先我们证明两个连续函数的和也是连续的。从我们已经证明的定理来看，我没有看到一个真正简单的方法来证明这一点。因此，我使用序列证明了连续性的基本特征。因此，我们需要以下引理：引理：以下各项等价：（a）如果an → a，则f（an）→ f（a），（b）f-1（U）是开放的∀开放集U。证明：（a）⇒（b）让U是开放的。如果f-1（U）不是开放的，则∃p∈f-1（U）s.t.∀n∃an<f-1（U）s.t. |p-an| < 1 n。然后an → p，所以f（an）→ f（p）。但是f（an）<U∀n，因此lim f（an）<U，因为Uc是封闭的。因此f（p）<U，与p∈f-1（U）矛盾。（b）⇒（a）假设an → a。让Bm = f-1（f（a）-1 m，f（a）+1 m）。Bm是开放的，包含a。因此∃N s.t. an∈Bm∀n≥N。因此f（am）∈（f（a）-1 n，f（a）+1 n）∀m>N。因此|f（am）-f（a）|<1 n∀m≥N。因此f（am）→ f（a）。使用引理很容易看出连续函数的和是连续的。让h（x）= f（x）-x。然后h是连续的。集合{}是封闭的，而f留下的点的集合恰好是h-1（{}）。由于h是连续的，根据定理2.9（e），这个集合是封闭的。对于第二部分，以同样的方式，由于g是连续的，{}是封闭的，{x | g（x）= } = g-1（{}），因此也是封闭的。转为latex

我可以回答这个问题。首先，我们需要证明两个连续函数的和也是连续的。根据我们已经证明的定理，我没有看到一个真正简单的方法来证明这一点。因此，我使用序列证明了连续性的基本特征。为此，我们需要以下引理：引理：以下各项等价：（a）如果an → a，则f（an）→ f（a），（b）f-1（U）是开放的∀开放集U。证明：（a）⇒（b）让U是开放的。如果f-1（U）不是开放的，则∃p∈f-1（U）s.t.∀n∃an<f-1（U）s.t. |p-an| < 1 n。然后an → p，所以f（an）→ f（p）。但是f（an）<U∀n，因此lim f（an）<U，因为Uc是封闭的。因此f（p）<U，与p∈f-1（U）矛盾。（b）⇒（a）假设an → a。让Bm = f-1（f（a）-1 m，f（a） 1 m）。Bm是开放的，包含a。因此∃N s.t. an∈Bm∀n≥N。因此f（am）∈（f（a）-1 n，f（a） 1 n）∀m>N。因此|f（am）-f（a）|<1 n∀m≥N。因此f（am）→ f（a）。使用引理很容易看出连续函数的和是连续的。让h（x）= f（x）-x。然后h是连续的。集合{}是封闭的，而f留下的点的集合恰好是h-1（{}）。由于h是连续的，根据定理2.9（e），这个集合是封闭的。对于第二部分，以同样的方式，由于g是连续的，{}是封闭的，{x | g（x）= } = g-1（{}），因此也是封闭的。

设f∈C[a,b]，证明 f[a,b]=[m,M]

首先，我们需要证明 $f[a,b]\subseteq[m,M]$ 和 $[m,M]\subseteq f[a,b]$ 。

证明 $f[a,b]\subseteq[m,M]$ ：

由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以 $f$ 在 $[a,b]$ 上一定存在最小值 $m$ 和最大值 $M$。因此，对于 $f$ 在 $[a,b]$ 上的任意一个值 $y$，都有 $m\leq f(x) \leq M$，其中 $x\in[a,b]$。因此，$f[a,b]\subseteq[m,M]$。

证明 $[m,M]\subseteq f[a,b]$ ：

我们需要证明，对于 $[m,M]$ 中的任意一个数 $y$，都存在 $[a,b]$ 中的一个点 $x$，使得 $f(x)=y$。

由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以对于任意一个 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。由于 $m$ 和 $M$ 都是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的极值，因此对于任意的 $\epsilon>0$，都存在 $x_1,x_2\in[a,b]$，使得 $f(x_1)<m+\epsilon$，$f(x_2)>M-\epsilon$。因此，对于任意的 $y\in[m,M]$，都存在一个 $\epsilon>0$，使得 $y\in(f(x_1),f(x_2))$。由于 $f$ 在 $[x_1,x_2]$ 上连续，因此根据介值定理，存在 $x\in[x_1,x_2]$，使得 $f(x)=y$。因此，$[m,M]\subseteq f[a,b]$。

综上所述，$f[a,b]=[m,M]$。