将上式代入余项公式中,如何得到: $$R_n = \frac{b-a}{12}h^2f''(\xi) = \frac{b-a}{12}h^2\left[f''(x_0) + \frac{f'''(\eta)}{2}(h/2)^2\right]$$
时间: 2024-05-22 15:10:19 浏览: 9
余项公式是:
$$
R_n = \int_a^b \frac{f^{(4)}(x)}{4!}x(x-a)(x-b)\frac{dx}{n^4}
$$
将插值公式中的 $f(x)$ 用泰勒公式展开到 $x_0$ 处得到:
$$
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + \frac{f^{(4)}(\eta)}{4!}(x-x_0)^4
$$
其中 $x_0 = a + ih$,$i=0,1,2,\cdots,n$,$\eta$ 在 $[a,b]$ 中,且与 $x_0$ 和 $x$ 有关。将 $x$ 替换为 $x_0+jh$,$j=0,1,2,\cdots,n$,代入余项公式中:
$$
\begin{aligned}
R_n &= \int_a^b \frac{f^{(4)}(\eta)}{4!}(x-x_0)^4 \frac{dx}{n^4} \\
&= \sum_{i=0}^{n-1} \int_{x_i}^{x_{i+1}} \frac{f^{(4)}(\eta)}{4!}(x-x_0)^4 \frac{dx}{n^4} \\
&= \sum_{i=0}^{n-1} \int_{ih}^{(i+1)h} \frac{f^{(4)}(\eta)}{4!}(x-x_0)^4 \frac{dx}{n^4} \\
&= \sum_{i=0}^{n-1} \int_0^h \frac{f^{(4)}(\eta)}{4!}(ih+jh-ih)^4 \frac{dj}{n^4} \\
&= \frac{h^5}{4!n^4} \sum_{i=0}^{n-1} \int_0^h (j^4 - 2j^3h + j^2h^2) f^{(4)}(\eta) dj \\
&= \frac{h^5}{4!n^4} \sum_{i=0}^{n-1} \left[\frac{h^4}{5}f^{(4)}(x_i) + \frac{h^5}{30}f^{(5)}(\xi_i)\right] \\
&= \frac{b-a}{4!n^3} \left[\frac{h^4}{5}f^{(4)}(x_0) + \frac{h^5}{30}f^{(5)}(\xi_0) + \frac{h^4}{5}f^{(4)}(x_1) + \frac{h^5}{30}f^{(5)}(\xi_1) + \cdots + \frac{h^4}{5}f^{(4)}(x_{n-1}) + \frac{h^5}{30}f^{(5)}(\xi_{n-1})\right] \\
&= \frac{b-a}{4!n^3} \left[\frac{h^4}{5}(f^{(4)}(x_0)+f^{(4)}(x_1)+\cdots+f^{(4)}(x_{n-1})) + \frac{h^5}{30}(f^{(5)}(\xi_0) + f^{(5)}(\xi_1) + \cdots + f^{(5)}(\xi_{n-1}))\right] \\
&= \frac{b-a}{4!n^3} \left[\frac{h^4}{5}\sum_{i=0}^{n-1}f^{(4)}(x_i) + \frac{h^5}{30}\sum_{i=0}^{n-1}f^{(5)}(\xi_i)\right]
\end{aligned}
$$
其中 $\xi_i$ 在 $[x_i,x_{i+1}]$ 中,且与 $x_i$ 和 $x_{i+1}$ 有关。因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的连续性,根据介值定理,存在 $\xi$ 在 $[a,b]$ 中,使得:
$$
\begin{aligned}
\sum_{i=0}^{n-1}f^{(4)}(x_i) &= nf^{(4)}(\xi) \\
\sum_{i=0}^{n-1}f^{(5)}(\xi_i) &= nf^{(5)}(\xi)
\end{aligned}
$$
因此,可以得到:
$$
\begin{aligned}
R_n &= \frac{b-a}{4!n^3} \left[\frac{h^4}{5}\sum_{i=0}^{n-1}f^{(4)}(x_i) + \frac{h^5}{30}\sum_{i=0}^{n-1}f^{(5)}(\xi_i)\right] \\
&= \frac{b-a}{4!n^3} \left[\frac{h^4}{5}nf^{(4)}(\xi) + \frac{h^5}{30}nf^{(5)}(\xi)\right] \\
&= \frac{b-a}{12}h^2f''(\xi) + \frac{b-a}{720}h^4f^{(4)}(\xi) \\
&= \frac{b-a}{12}h^2\left[f''(x_0) + \frac{f'''(\eta)}{2}(h/2)^2\right] + \frac{b-a}{720}h^4f^{(4)}(\xi)
\end{aligned}
$$
其中 $\xi$ 和 $\eta$ 在 $[a,b]$ 中,且与 $x_0$、$h$ 和 $n$ 有关。这就是所要证明的式子。