Simpson公式计算积分,计算截断误差

Simpson公式是一种数值积分方法，用于计算函数在一个区间上的定积分。它是通过将积分区间等分成若干个小区间，并在每个小区间上采用二次插值多项式来近似函数，最终得到一个近似的积分值。

对于区间 $[a,b]$，将其等分成 $n$ 个小区间，每个小区间的区间长度为 $h=\frac{b-a}{n}$。则 Simpson公式可以表示为：

$$
\int_{a}^{b}f(x) dx \approx \frac{h}{3}\left[f(a)+4\sum_{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor}f(a+(2i-1)h)+2\sum_{i=1}^{n/2-1}f(a+2ih)+f(b)\right]
$$

其中 $\lfloor n/2\rfloor$ 表示 $n/2$ 的整数部分。

为了计算截断误差，需要先定义误差项：

$$
R_n(f)=-\frac{(b-a)h^4}{180}f^{(4)}(\xi)
$$

其中 $\xi$ 是积分区间 $[a,b]$ 中的某一点。根据 Simpson公式的表达式，可以将积分区间等分成 $n$ 个小区间，每个小区间的区间长度为 $h=\frac{b-a}{n}$。因此，在区间 $[a,b]$ 上的误差可以表示为：

$$
E_n(f)=\left|\int_{a}^{b}f(x) dx - S_n(f)\right|=\left|\frac{b-a}{180}h^4f^{(4)}(\xi)\right|
$$

其中 $S_n(f)$ 表示用 Simpson公式计算的积分近似值。

相关问题

用梯形公式和辛普森公式计算积分的截断误差python

梯形公式和辛普森公式都是数值积分的方法，它们的截断误差可以通过理论分析得到。

梯形公式的截断误差为：

$$
E_T = -\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi_T)
$$

其中，$a$和$b$是积分区间的端点，$\xi_T$是积分区间内的某个点，$f''(\xi_T)$是被积函数在$\xi_T$处的二阶导数。

辛普森公式的截断误差为：

$$
E_S = -\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi_S)
$$

其中，$a$和$b$是积分区间的端点，$\xi_S$是积分区间内的某个点，$f^{(4)}(\xi_S)$是被积函数在$\xi_S$处的四阶导数。

下面是使用Python代码计算梯形公式和辛普森公式的截断误差的示例：

import math

def trapezoidal_rule_error(f, a, b):
    h = (b - a) / 2
    return -(h ** 3 / 3) * f.diff(x, 2).subs(x, a + h/2)

def simpson_rule_error(f, a, b):
    h = (b - a) / 2
    return -(h ** 5 / 90) * f.diff(x, 4).subs(x, a + h)

其中，`f`是被积函数，`a`和`b`是积分区间的端点，`x`是自变量。`trapezoidal_rule_error`函数计算梯形公式的截断误差，`simpson_rule_error`函数计算辛普森公式的截断误差。这里使用了Sympy库进行符号计算。

matlab simpson公式求积分

Simpson公式是一种数值积分方法，可以用于求解定积分。在MATLAB中，可以使用simpson函数来实现Simpson公式求积分。具体使用方法如下：

1. 定义被积函数f(x)，并将其写成MATLAB函数的形式。

2. 定义积分区间[a,b]。

3. 使用simpson函数求解积分，语法为：

integral = simpson(f,a,b)

其中，f为被积函数，a和b为积分区间，integral为积分结果。

例如，要求解函数f(x) = x^2在区间[,1]上的积分，可以按照以下步骤进行：

1. 定义被积函数：

function y = f(x)
y = x.^2;

2. 定义积分区间：

a = ;
b = 1;

3. 使用simpson函数求解积分：

integral = simpson(@f,a,b)

其中，@f表示将函数f作为参数传递给simpson函数。

最终，integral的值即为函数f(x) = x^2在区间[,1]上的积分结果。