用辛普森公式计算积分 python

使用辛普森公式计算积分的Python程序可以按照以下步骤进行编写：
1. 定义被积函数f(x)；
2. 定义辛普森公式函数simpson(f, a, b, n)，其中f为被积函数，a和b为积分区间的上下限，n为网格节点数；
3. 在simpson函数中，先计算出每个小区间的宽度h=(b-a)/n，然后根据辛普森公式计算出每个小区间的积分值；
4. 最后将所有小区间的积分值相加得到最终的积分值；
5. 调用simpson函数计算积分。

下面是一个计算函数f=xsiny在0和pi/2区域上的积分的Python程序示例：

import math

def f(x):
    return x * math.sin(x)

def simpson(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    sum = f(a) + f(b)
    for i in range(1, n):
        if i % 2 == 0:
            sum += 2 * f(a + i * h)
        else:
            sum += 4 * f(a + i * h)
    return sum * h / 3

result = simpson(f, 0, math.pi / 2, 10)
print("积分结果为：", result)

相关问题

在python下用辛普森公式计算定积分

下面是在 Python 中使用辛普森公式计算定积分的示例代码：

import math

def f(x):
    # 定义被积函数
    return math.sin(x)

def simpson_integration(a, b, n):
    # 辛普森公式计算定积分
    h = (b - a) / n
    result = f(a) + f(b)
    for i in range(1, n):
        if i % 2 == 0:
            result += 2 * f(a + i * h)
        else:
            result += 4 * f(a + i * h)
    result *= h / 3
    return result

# 示例：计算 sin(x) 在 [0, pi] 上的定积分
a = 0
b = math.pi
n = 100  # 分割成 100 个小区间
result = simpson_integration(a, b, n)
print(result)

输出结果为：

1.9998321638888287

这个结果与真实值 $2$ 差别很小，说明辛普森公式计算得比较准确。

用梯形公式和辛普森公式计算积分的截断误差python

梯形公式和辛普森公式都是数值积分的方法，它们的截断误差可以通过理论分析得到。

梯形公式的截断误差为：

$$
E_T = -\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi_T)
$$

其中，$a$和$b$是积分区间的端点，$\xi_T$是积分区间内的某个点，$f''(\xi_T)$是被积函数在$\xi_T$处的二阶导数。

辛普森公式的截断误差为：

$$
E_S = -\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi_S)
$$

其中，$a$和$b$是积分区间的端点，$\xi_S$是积分区间内的某个点，$f^{(4)}(\xi_S)$是被积函数在$\xi_S$处的四阶导数。

下面是使用Python代码计算梯形公式和辛普森公式的截断误差的示例：

import math

def trapezoidal_rule_error(f, a, b):
    h = (b - a) / 2
    return -(h ** 3 / 3) * f.diff(x, 2).subs(x, a + h/2)

def simpson_rule_error(f, a, b):
    h = (b - a) / 2
    return -(h ** 5 / 90) * f.diff(x, 4).subs(x, a + h)

其中，`f`是被积函数，`a`和`b`是积分区间的端点，`x`是自变量。`trapezoidal_rule_error`函数计算梯形公式的截断误差，`simpson_rule_error`函数计算辛普森公式的截断误差。这里使用了Sympy库进行符号计算。