分别用复合梯形求积公式及复合辛普森求积公式计算积分 ,要求计算精度达到 ,给出计算结果并比较两种方法的计算节点数.

复合梯形求积公式是一种数值积分方法，它通过将函数在一个区间上分割成多个小的矩形区域，然后用每个矩形面积的平均值近似整个区间的定积分。为了保证精度达到，通常需要增加划分的等分段数。例如，如果精度要求为 \( \epsilon = 10^{-6} \)，那么理论上可能需要更多于 \( \frac{\ln(\epsilon)}{\ln(2)} \) 次的细分。

复合辛普森法则则是基于辛普森规则的一种改进，它利用了多项式插值的思想，把区间分成奇数个等间距的小段，其中内部分为三个小部分应用二次插值，而边界则采用线性插值。这种方法对于光滑的函数有更高的精度，所需节点数一般比梯形法更少就能达到同样精度。

假设我们有一个具体的函数和区间范围，我们可以用 Python 的 scipy 库来计算这两种方法的实际值：

from scipy.integrate import quad, simpson

# 假设我们要计算的函数 f(x)
def func(x):
    # 请替换为实际的函数定义
    pass

# 区间 [a, b]
a, b = 0, 1

# 使用复合梯形法则 (n=1000为例，调整 n 可以改变精度)
n_trapezoidal = 1000
trapezoidal_sum, _ = quad(func, a, b, n=n_trapezoidal)

# 使用复合辛普森法则 (n=500为例，调整 n 可能达到同等精度)
n_simpson = 500
simpson_sum, _ = quad(lambda x: simpson(func, a, x, b), a, b)

print("梯形法则计算结果:", trapezoidal_sum)
print("辛普森法则计算结果:", simpson_sum)

# 节点数比较
print("梯形法则所需的节点数:", n_trapezoidal)
print("辛普森法则所需的节点数:", n_simpson)

注意，实际运行上述代码前，你需要提供 `func(x)` 的具体定义，并根据计算结果调整节点数 `n` 来满足精度需求。