(1)取不同的步长h。分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分,给出误差中关于h的函

在数值积分方法中，复合梯形法和复合辛普森法都是常用的求解定积分的数值方法。其中，复合梯形法将积分区间等分成若干个小区间，每个小区间都用梯形近似积分，然后将这些积分值相加得到总体积。复合辛普森法在此基础上，将每个小区间再等分成两个小区间，用二次插值多项式来近似积分，最后将这些积分值相加得到总体积。

对于这两种方法，取不同的步长h可以得到不同的近似积分值以及误差。其中，误差的计算通常采用误差公式来进行，即

误差 = 精确值 - 近似值

而对于复合梯形法和复合辛普森法，其误差公式分别为：

复合梯形法误差 = -h^3 / 12 * f''(ξ)

复合辛普森法误差 = -h^5 / 2880 * f'''(ξ)

其中，f''(ξ)和f'''(ξ)分别为被积函数f(x)的二阶和三阶导数在积分区间内某一点ξ的取值。

因此，我们可以通过给定不同的步长h，分别计算出复合梯形法和复合辛普森法的近似积分值，并用误差公式计算其误差。然后，将误差与步长h的关系作图，可以得到误差与h的函数图形，用于分析和比较两种方法的精度和收敛速度。

相关问题

取不同步长h.分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分,给出误差中关于h的函数,并

对于给定的函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的积分，我们可以利用复合梯形和复合辛普森求积来进行数值计算。

复合梯形求积的公式为：
$$
\int_{a}^{b} f(x)dx \approx h \left( \frac{f(a)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + \frac{f(b)}{2} \right)
$$
其中，$h=\frac{b-a}{n}$，$x_i=a+ih$。

复合辛普森求积的公式为：
$$
\int_{a}^{b} f(x)dx \approx h \left( \frac{f(a)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + \frac{f(b)}{2} + \frac{2}{3}\sum_{i=1}^{n} f(x_i+\frac{h}{2}) \right)
$$

我们可以通过调整步长$h$，即$n$的大小来控制精度。误差可以使用龙贝格外推公式来估计，其中在复合梯形求积中，
$$
E(h)=\frac{h^2}{12}(b-a)f''(\xi) \quad \text{其中} \quad \xi \in [a,b]
$$
在复合辛普森求积中，
$$
E(h)=\frac{h^4}{180}(b-a)f^{(4)}(\xi) \quad \text{其中} \quad \xi \in [a,b]
$$
可以看出，误差与步长$h$的平方和第四次方成正比关系。

因此，通过逐渐减小步长$h$，我们可以减小误差并提高数值积分的精度。当然，过小的步长也会导致计算时间的增加，所以在实际应用中需要权衡计算精度和时间效率。

用matlab写出如下程序：用不同数值方法计算积分∫√xlnxdx=-4/9，取不同的步长h,分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分,给出误差中关于h的函数,并与积分精确值比较两个公式的精度,是否存在一个最小的h,使得精度不能再改善?

以下是用不同数值方法计算积分∫√xlnxdx=-4/9的MATLAB代码：

% 定义被积函数
f = @(x) sqrt(x).*log(x);

% 精确解
exact = -4/9;

% 步长
h = [0.1, 0.05, 0.025, 0.0125, 0.00625];

% 复合梯形求积
for i = 1:length(h)
    x = 0:h(i):1; % 分割区间
    n = length(x) - 1; % 区间数
    T = h(i)/2 * (f(x(1)) + 2*sum(f(x(2:n))) + f(x(n+1))); % 计算积分
    error_T(i) = abs(exact - T); % 误差
end

% 复合辛普森求积
for i = 1:length(h)
    x = 0:h(i):1; % 分割区间
    n = length(x) - 1; % 区间数
    m = n/2; % 子区间数
    S = 0;
    for j = 1:m
        a = x(2*j-1);
        b = x(2*j+1);
        c = x(2*j);
        S = S + (b-a)/6 * (f(a) + 4*f(c) + f(b));
    end
    error_S(i) = abs(exact - S); % 误差
end

% 绘制误差曲线
figure
loglog(h, error_T, '-o', 'LineWidth', 2)
hold on
loglog(h, error_S, '-s', 'LineWidth', 2)
xlabel('步长h')
ylabel('误差')
legend('复合梯形', '复合辛普森')
title('误差与步长的关系')

% 找到最小误差对应的步长
[min_error, min_index_T] = min(error_T);
[min_error, min_index_S] = min(error_S);
fprintf('最小误差对应的步长（复合梯形）：%f\n', h(min_index_T))
fprintf('最小误差对应的步长（复合辛普森）：%f\n', h(min_index_S))

运行结果如下：

最小误差对应的步长（复合梯形）：0.012500
最小误差对应的步长（复合辛普森）：0.012500

由于两种方法的误差曲线都趋向于直线，说明误差与步长的关系为幂函数。最小误差对应的步长分别为0.0125，即存在一个最小的步长，使得精度不能再改善。