数值积分精度分析：复合梯形、辛普森与龙贝格求积法

本资源主要探讨了数值积分计算中的几种方法，包括复合梯形求积、复合辛普森求积以及龙贝格求积，这些都是在数值分析中常用的求解定积分的近似方法。首先，通过改变步长h，用复合梯形公式和复合辛普森公式计算区间[0,1]的积分，目的是观察误差与h的关系，寻找可能存在的最小h值，以确保精度不再进一步提升。在实验中，当步长足够小（如复合梯形法中h=1.4409E-03，复合辛普森法中h=4.9505E-03），精度不再随n（等分数）的增加而显著提高。 复合梯形公式利用的是简单梯形面积的平均值来近似积分，而复合辛普森法则则是基于每个子区间内函数近似的二次曲线来提高精度。对比两者的结果，复合辛普森法的精度明显优于复合梯形法，特别是在误差方面。 接着，龙贝格求积是一种基于分治策略的数值积分方法，通过不断二分区间并应用梯形和辛普森公式进行计算，直到达到预设的精度。在示例中，取kmax=10时，精度达到10^-4，得到的积分近似值为-0.444386。如果增加kmax，积分值保持不变，说明计算过程是正确的。 最后，目标是使用自适应辛普森积分达到10^-4的精度。自适应辛普森方法可以根据函数特性动态调整子区间数量和形状，以获得更高的精度。这个过程通常涉及到一个迭代过程，确保每个子区间内的函数近似可以满足精度要求。 整个资源提供了MATLAB程序代码作为实现工具，附录部分包含各个求积方法的具体实现细节，使得读者能够理解和实践这些数值积分的计算方法。通过这些实验和计算，学习者可以深入理解数值积分方法的原理、精度依赖因素以及如何选择合适的步长或子区间划分来优化计算效果。