试分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算定积分的近似值。

复化梯形公式和复化Simpson公式都可以用来计算定积分的近似值，其中复化Simpson公式的精度更高，但计算量也更大。

下面我们以求解定积分 $\int_0^1 x^2\mathrm{d}x$ 为例，分别使用复化梯形公式和复化Simpson公式进行计算。

1. 复化梯形公式

首先，将积分区间 $[0,1]$ 平均分为 $n$ 个小区间，每个小区间的宽度为 $h=\frac{1}{n}$。则可将积分表示为：

$$
\int_0^1 x^2\mathrm{d}x \approx \frac{h}{2} \left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right]
$$

其中，$f(x)=x^2$，$x_i=ih$。

当 $n=4$ 时，应用复化梯形公式进行计算得到：

$$
\begin{aligned}
\int_0^1 x^2\mathrm{d}x &\approx \frac{1}{8} \left[f(0)+2\sum_{i=1}^{3}f\left(\frac{i}{4}\right)+f(1)\right] \\
&= \frac{1}{8} \left[0+2\cdot\left(\frac{1}{4^2}+\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^2}\right)+1\right] \\
&= \frac{14}{32} = 0.4375
\end{aligned}
$$

2. 复化Simpson公式

复化Simpson公式是在复化梯形公式的基础上进一步利用了函数在小区间上的二次插值。将积分区间 $[0,1]$ 平均分为 $2n$ 个小区间，每两个小区间合并成一个小区间，则每个小区间的宽度为 $h=\frac{1}{2n}$。则可将积分表示为：

$$
\int_0^1 x^2\mathrm{d}x \approx \frac{h}{3} \left[f(x_0)+4\sum_{i=1}^{n}f(x_{2i-1})+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{2i})+f(x_{2n})\right]
$$

当 $n=2$ 时，应用复化Simpson公式进行计算得到：

$$
\begin{aligned}
\int_0^1 x^2\mathrm{d}x &\approx \frac{1}{6} \left[f(0)+4\sum_{i=1}^{2}f\left(\frac{2i-1}{4}\right)+2\sum_{i=1}^{1}f\left(\frac{2i}{4}\right)+f(1)\right] \\
&= \frac{1}{6} \left[0+4\cdot\left(\frac{1}{4^2}+\frac{3}{4^2}\right)+2\cdot\left(\frac{2}{4^2}\right)+1\right] \\
&= \frac{1}{3} = 0.3333
\end{aligned}
$$

可以看出，复化Simpson公式的计算结果更接近真实值。