试分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算定积分代码

复化梯形公式和复化Simpson公式都是数值积分方法，用于计算定积分。下面分别给出两种方法的代码实现：

1. 复化梯形公式

def composite_trapezoidal_rule(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    x = a
    sum = 0
    for i in range(n):
        sum += (f(x) + f(x + h)) / 2
        x += h
    return sum * h

其中，参数 f 是被积函数，a 和 b 是积分区间的端点，n 是分割区间的个数。

2. 复化Simpson公式

def composite_simpson_rule(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    x = a
    sum = f(x) + f(b)  # 计算首尾项
    for i in range(1, n):
        if i % 2 == 0:  # 偶数项系数为2
            sum += 2 * f(x + i * h)
        else:  # 奇数项系数为4
            sum += 4 * f(x + i * h)
    return sum * h / 3

同样，参数 f 是被积函数，a 和 b 是积分区间的端点，n 是分割区间的个数。

注意，这里的分割区间数 n 应该是偶数，所以在计算时需要对 n 进行判断和调整。

相关问题

试分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算定积分的近似值。

复化梯形公式和复化Simpson公式都可以用来计算定积分的近似值，其中复化Simpson公式的精度更高，但计算量也更大。

下面我们以求解定积分 $\int_0^1 x^2\mathrm{d}x$ 为例，分别使用复化梯形公式和复化Simpson公式进行计算。

1. 复化梯形公式

首先，将积分区间 $[0,1]$ 平均分为 $n$ 个小区间，每个小区间的宽度为 $h=\frac{1}{n}$。则可将积分表示为：

$$
\int_0^1 x^2\mathrm{d}x \approx \frac{h}{2} \left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right]
$$

其中，$f(x)=x^2$，$x_i=ih$。

当 $n=4$ 时，应用复化梯形公式进行计算得到：

$$
\begin{aligned}
\int_0^1 x^2\mathrm{d}x &\approx \frac{1}{8} \left[f(0)+2\sum_{i=1}^{3}f\left(\frac{i}{4}\right)+f(1)\right] \\
&= \frac{1}{8} \left[0+2\cdot\left(\frac{1}{4^2}+\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^2}\right)+1\right] \\
&= \frac{14}{32} = 0.4375
\end{aligned}
$$

2. 复化Simpson公式

复化Simpson公式是在复化梯形公式的基础上进一步利用了函数在小区间上的二次插值。将积分区间 $[0,1]$ 平均分为 $2n$ 个小区间，每两个小区间合并成一个小区间，则每个小区间的宽度为 $h=\frac{1}{2n}$。则可将积分表示为：

$$
\int_0^1 x^2\mathrm{d}x \approx \frac{h}{3} \left[f(x_0)+4\sum_{i=1}^{n}f(x_{2i-1})+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{2i})+f(x_{2n})\right]
$$

当 $n=2$ 时，应用复化Simpson公式进行计算得到：

$$
\begin{aligned}
\int_0^1 x^2\mathrm{d}x &\approx \frac{1}{6} \left[f(0)+4\sum_{i=1}^{2}f\left(\frac{2i-1}{4}\right)+2\sum_{i=1}^{1}f\left(\frac{2i}{4}\right)+f(1)\right] \\
&= \frac{1}{6} \left[0+4\cdot\left(\frac{1}{4^2}+\frac{3}{4^2}\right)+2\cdot\left(\frac{2}{4^2}\right)+1\right] \\
&= \frac{1}{3} = 0.3333
\end{aligned}
$$

可以看出，复化Simpson公式的计算结果更接近真实值。

matlab编程分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算定积分 的近似值。

下面是使用复化梯形公式和复化Simpson公式计算定积分的Matlab代码示例：

复化梯形公式：

function I = trapezoidal(f, a, b, n)
h = (b-a)/n;
x = a:h:b;
y = f(x);
I = (h/2)*(y(1) + 2*sum(y(2:n)) + y(n+1));
end

其中，参数`f`为被积函数，`a`和`b`为积分区间的下限和上限，`n`为分割区间的数量。

复化Simpson公式：

function I = simpson(f, a, b, n)
h = (b-a)/n;
x = a:h:b;
y = f(x);
I = (h/3)*(y(1) + 4*sum(y(2:2:n)) + 2*sum(y(3:2:n-1)) + y(n+1));
end

同样，参数`f`为被积函数，`a`和`b`为积分区间的下限和上限，`n`为分割区间的数量。

可以通过调用上述函数来计算定积分的近似值。例如，对于函数$f(x)=x^2$在区间$[0,1]$上的定积分，可以如下计算：

f = @(x) x.^2;
a = 0;
b = 1;
n = 100;
I1 = trapezoidal(f, a, b, n); % 使用梯形公式计算
I2 = simpson(f, a, b, n); % 使用Simpson公式计算

其中，`I1`和`I2`分别为使用梯形公式和Simpson公式计算得到的近似值。