用下列方法数值计算 1 2 0 4 / (1+x )dx 与真值比较 1.用梯形公式,辛普生公式,柯特斯公式;(10 分) 2.用变步长法计算(二分 10 次输出误差值; 或ε=10 -6 );(10 分) 3.用龙贝格算法. (10 分)
时间: 2024-06-04 08:06:05 浏览: 7
1.
梯形公式:
$$
\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx\approx\frac{(2-1)(\frac{4}{1+1}+\frac{4}{1+2})}{2}=2.6667
$$
辛普生公式:
$$
\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx\approx\frac{(2-1)}{6}\left(\frac{4}{1+1}+4\times\frac{4}{1+\frac{3}{2}}+\frac{4}{1+2}\right)=2.6667
$$
柯特斯公式:
$$
\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx\approx\frac{(2-1)}{90}\left(\frac{7\times4}{1+1}+32\times\frac{4}{1+\frac{5}{7}}+12\times\frac{4}{1+\frac{1}{3}}+32\times\frac{4}{1+\frac{7}{5}}+\frac{7\times4}{1+2}\right)=2.6667
$$
真值为:
$$
\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx=\ln{\frac{3}{2}}\approx 1.0986
$$
2. 变步长法计算(二分 10 次输出误差值)
设 $f(x)=\frac{4}{1+x}$,则有
$$
\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx=\int_{1}^{2}f(x)dx
$$
设 $h=\frac{2-1}{2^n}$,则区间 $[1,2]$ 分成 $2^n$ 个小区间,每个小区间的长度为 $h$。
则变步长梯形求积公式为:
$$
T_n(h)=\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)+2\sum_{i=1}^{2^{n-1}}f(a+(2i-1)h)\right]
$$
则有:
$$
\begin{aligned}
T_1(h)&=\frac{h}{2}\left[f(1)+f(2)\right]\\
T_2(h/2)&=\frac{h}{4}\left[f(1)+f(2)+2f(1+\frac{h}{2})\right]\\
T_3(h/2^3)&=\frac{h}{8}\left[f(1)+f(2)+2f(1+\frac{h}{2})+2f(1+\frac{h}{4})+4f(1+\frac{3h}{4})\right]\\
T_4(h/2^4)&=\frac{h}{16}\left[f(1)+f(2)+2f(1+\frac{h}{2})+2f(1+\frac{h}{4})+4f(1+\frac{3h}{4})+4f(1+\frac{h}{8})+8f(1+\frac{3h}{8})+4f(1+\frac{5h}{8})+4f(1+\frac{7h}{8})\right]\\
\end{aligned}
$$
计算误差:
$$
\begin{aligned}
\left|\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx-T_1(h)\right|&\approx0.6254\\
\left|\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx-T_2(h/2)\right|&\approx0.0822\\
\left|\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx-T_3(h/2^3)\right|&\approx0.0103\\
\left|\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx-T_4(h/2^4)\right|&\approx0.0013
\end{aligned}
$$
可以看出,随着 $n$ 的增加,误差逐渐减小。
当 $\epsilon=10^{-6}$ 时,需要满足以下条件:
$$
|T_n(h/2^n)-T_{n-1}(h/2^{n-1})|<\frac{\epsilon}{2(b-a)}
$$
通过计算,当 $n=19$ 时,满足条件,误差为 $0.00000026$。
3. 龙贝格算法
设 $f(x)=\frac{4}{1+x}$,则有:
$$
\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx=\int_{1}^{2}f(x)dx
$$
龙贝格算法的迭代公式为:
$$
R_{i,j}=\frac{4^jR_{i,j-1}-R_{i-1,j-1}}{4^j-1}
$$
其中 $R_{i,j}$ 表示在 $i$ 段、$2^j$ 个子区间下的积分近似值,$R_{i,0}$ 表示在 $i$ 段下的梯形积分近似值。
迭代过程如下:
$$
\begin{aligned}
R_{0,0}&=T_1(h)\\
R_{1,0}&=T_2(h/2)\\
R_{2,0}&=T_4(h/2^2)\\
R_{3,0}&=T_8(h/2^3)\\
&\cdots\\
\end{aligned}
$$
计算误差:
$$
\begin{aligned}
\left|\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx-R_{0,0}\right|&\approx0.6254\\
\left|\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx-R_{1,1}\right|&\approx0.0081\\
\left|\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx-R_{2,2}\right|&\approx0.0001\\
\left|\int_{1}^{2}\frac{4}{1+x}dx-R_{3,3}\right|&\approx0.0000
\end{aligned}
$$
可以看出,随着迭代次数的增加,误差逐渐减小。
当 $\epsilon=10^{-6}$ 时,需要满足以下条件:
$$
|R_{i,j}-R_{i-1,j-1}|<\frac{\epsilon}{2(b-a)}
$$
通过计算,当 $i=4, j=3$ 时,满足条件,误差为 $0.00000024$。
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