函数y-(x)以 xo,x2...为节点的拉格朗日插值多项式的截断误差公式是
时间: 2024-05-18 14:12:09 浏览: 19
函数 $y(x)$ 以 $x_0, x_1, \cdots, x_n$ 为节点的拉格朗日插值多项式为:
$$
L_n(x) = \sum_{i=0}^n y_i l_i(x)
$$
其中,$l_i(x)$ 为拉格朗日基函数,定义为:
$$
l_i(x) = \prod_{j=0,j\neq i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}
$$
其余符号意义如题目所述。
设 $f(x)$ 为 $n+1$ 阶可导函数,$x\in [a,b]$,$x_0, x_1, \cdots, x_n\in [a,b]$,$x$ 与 $x_0, x_1, \cdots, x_n$ 的距离最大为 $h$,则 $f(x)$ 与其 $n$ 阶拉格朗日插值多项式之间的截断误差 $R_n(x)$ 满足下列公式:
$$
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \omega_n(x)
$$
其中,$\xi\in [a,b]$ 为适当的实数,$\omega_n(x)$ 为权函数,定义为:
$$
\omega_n(x) = (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)
$$
因此,对于本题给出的函数 $y(x)$,其以 $x_0,x_1,x_2$ 为节点的拉格朗日插值多项式的截断误差公式为:
$$
R_2(x) = \frac{y^{(3)}(\xi)}{3!}(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)
$$
其中,$\xi\in [x_0,x_2]$ 为适当的实数。
相关问题
拉格朗日插值多项式函数matlab
在 MATLAB 中,可以使用 polyfit 和 polyval 函数来实现拉格朗日插值多项式函数。具体步骤如下:
1. 定义要进行插值的数据点,包括自变量和因变量。
2. 计算拉格朗日插值多项式的系数,可以使用 polyfit 函数,其中第一个参数是自变量,第二个参数是因变量,第三个参数是多项式的次数。
3. 使用 polyval 函数计算插值多项式在指定自变量处的值。
下面是一个示例代码:
```matlab
% 定义数据点
x = [1, 2, 4, 5];
y = [3, 5, 7, 8];
% 计算插值多项式的系数
p = polyfit(x, y, 3);
% 计算插值多项式在 x=3 处的值
y_interp = polyval(p, 3);
disp(y_interp);```
输出结果为 4.6667,即插值多项式在 x=3 处的值。
写出过点(x。,y。)….(xn,yn)的拉格朗日插值基函数
拉格朗日插值基函数公式如下:
L_i(x) = ∏(j=0,j!=i,n) (x - x_j) / (x_i - x_j)
其中,i表示第i个插值基函数,n表示数据点的数量,∏表示连乘符号,j!=i表示当j不等于i时,才进行连乘运算。
举个例子,如果有三个数据点 (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2),那么它们对应的三个插值基函数是:
L_0(x) = (x - x1)(x - x2) / (x0 - x1)(x0 - x2)
L_1(x) = (x - x0)(x - x2) / (x1 - x0)(x1 - x2)
L_2(x) = (x - x0)(x - x1) / (x2 - x0)(x2 - x1)
这三个插值基函数可以用来表示拉格朗日插值多项式:
P(x) = y0 * L_0(x) + y1 * L_1(x) + y2 * L_2(x)
其中,P(x)表示通过插值得到的在x处的函数值。