mlp反向传播算法 推导

反向传播算法（Backpropagation）是一种用于训练多层神经网络的算法。它通过计算网络输出与实际输出之间的误差，并反向传播误差来更新网络中的权重和偏置。下面是对该算法的推导过程。

首先，假设我们有一个包含L层的神经网络。给定网络的输入x，我们可以通过前向传播计算神经网络的输出a。这些输出通过以下公式计算：

a^1 = x
z^l = W^l * a^{(l-1)} + b^l
a^l = g(z^l)

其中，l表示层数，W^l和b^l分别表示第l层的权重矩阵和偏置向量，g表示激活函数。

接下来，我们定义代价函数J，它用于衡量网络输出与实际输出之间的误差。一种常见的代价函数是均方误差函数：

J = (1/2) * sum((a^L - y)^2)

其中，a^L表示网络的输出，y表示实际输出。

为了更新网络的权重和偏置，我们需要计算代价函数J对权重和偏置的偏导数。使用链式法则，我们可以从输出层开始计算这些偏导数。

首先，我们计算输出层的误差项δ^L（也称为梯度），它描述了输出层上每个神经元对代价函数的贡献。对于均方误差函数，δ^L的计算如下：

δ^L = (a^L - y) * g'(z^L)

然后，我们可以使用δ^L来计算前一层的误差项δ^{(L-1)}：

δ^{(L-1)} = (W^{(L)T} * δ^L) * g'(z^{(L-1)})

使用这些误差项，我们可以计算代价函数J对权重和偏置的偏导数：

dW^l = δ^l * a^{(l-1)T}
db^l = δ^l

最后，我们可以使用学习率η来更新网络的权重和偏置：

W^l = W^l - η * dW^l
b^l = b^l - η * db^l

通过多次反复应用这些更新规则，我们可以逐渐减小网络的误差，从而优化网络的性能。

总之，反向传播算法通过计算网络输出与实际输出之间的误差，并反向传播误差来更新网络中的权重和偏置。这种算法通过链式法则将误差传播到每一层，并使用梯度下降法来最小化代价函数。