李雅普诺夫函数V=1/2*ze^2，其中ze=v*cosA+r*sinA+Au*sinB，如何设计Au使得V的一阶导数存在-b^2项

我们首先对 $V$ 求一阶导数：

$$
\begin{aligned}
\frac{dV}{dA} &= \frac{d}{dA} \left[ \frac{1}{2}(v\cos A + r\sin A + Au\sin B)^2 \right] \\
&= (v\cos A + r\sin A + Au\sin B) \cdot (v(-\sin A) + r\cos A + Au\cos B \cdot B)
\end{aligned}
$$

其中，为了方便起见，我们将 $Au\sin B$ 记为 $u$。现在的问题是如何设计 $u$ 使得 $-\frac{dV}{dA}$ 中含有 $b^2$ 项。

我们发现，$-\frac{dV}{dA}$ 中含有 $\cos A$ 和 $\sin A$ 两个因子。为了让其含有 $b^2$ 项，我们需要让 $\sin A = b$，并且让 $\cos A$ 的系数为 $0$。具体来说，我们可以这样设计 $u$：

$$
u = -\frac{v\cos B}{b}
$$

这样，$\sin A = b$，而 $\cos A$ 的系数为：

$$
v(-\sin A) + r\cos A + Au\cos B \cdot B = v(-b) + r\cdot 0 + Au\cos B \cdot B = -\frac{v^2\cos B}{b} - \frac{vr\sin B}{b}
$$

因此，$-\frac{dV}{dA}$ 中含有 $b^2$ 项：

$$
\begin{aligned}
-\frac{dV}{dA} &= -(v\cos A + r\sin A + Au\sin B) \cdot (v(-\sin A) + r\cos A + Au\cos B \cdot B) \\
&= -(v\cos A + r\sin A - \frac{v^2\cos B}{b} - \frac{vr\sin B}{b} \cdot \frac{v\cos B}{b}) \\
&= -\frac{v^3\cos^2 B}{b^2} - \frac{vr^2\sin^2 B}{b^2} - \frac{2v^2r\cos B\sin B}{b^2}
\end{aligned}
$$

其中，我们利用了 $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$。因此，当 $u = -\frac{v\cos B}{b}$ 时，$V$ 的一阶导数中含有 $b^2$ 项。