李雅普诺夫函数V=1/2*ze^2,ze的导数为xddao*cosA+yddao*sinA-u*cosB-v*sinB Au=u+ue,如何设计Au使得李雅普诺夫函数V的导数存在-1/2*ze^2。
时间: 2023-07-23 13:07:01 浏览: 57
根据李雅普诺夫函数的定义,其导数为:
dV/dt = d(1/2*ze^2)/dt = ze*dze/dt
因此,要让导数存在-1/2*ze^2,需要满足:
ze*dze/dt = -1/2*ze^2
即:
dze/dt = -1/2*ze
将z的导数表示为xddao*cosA+yddao*sinA-u*cosB-v*sinB,代入上式得到:
xddao*cosA+yddao*sinA-u*cosB-v*sinB = -1/2*ze
整理可得:
u*cosB + v*sinB = 1/2*ze - xddao*cosA - yddao*sinA
因此,Au可以设计为:
Au = u + 1/2*ze*cosB - xddao*cosA - yddao*sinA
这样设计的Au能够实现李雅普诺夫函数V的导数存在-1/2*ze^2。
相关问题
设计李雅普诺夫函数V=1/2*ze^2,ze=sinB*v+cosA*au、如何设计au可使得李雅普诺夫函数V的导数负定
首先,我们需要计算V对时间的导数,即:
dV/dt = ze*dze/dt
其中,ze为已知量,dze/dt为:
dze/dt = cosB*dv/dt - sinA*da/dt
因此,
dV/dt = ze*cosB*dv/dt - ze*sinA*da/dt
如果要使得dV/dt为负定,即dV/dt小于0对于所有非零的v和a都成立,那么我们需要满足以下条件:
1. ze*cosB>0,这意味着v和a的方向不能与ze的方向相反;
2. ze*sinA=0,这意味着a不能有沿着cosA的分量,即a必须在sinA的方向上;
3. ze*dv/dt<=0,这意味着v的增加会使得dV/dt减小或保持不变;
4. ze*da/dt<=0,这意味着a的增加会使得dV/dt减小或保持不变。
针对条件2,我们可以将au设计为:
au = sinA*sinB*v/cosA
这样就可以保证ze*sinA=0。然后我们需要确定v的变化情况,以满足条件3和4。
考虑到cosB、ze、sinA都是常数,我们可以通过选择v的变化方程来保证ze*cosB*dv/dt<=0。例如,我们可以选择v的变化方程为:
dv/dt = -kv
其中k为正常数,这样就可以保证v的增加会使得dV/dt减小。同样地,我们可以通过选择a的变化方程,例如:
da/dt = -ka
来保证ze*da/dt<=0。
综上所述,如果我们选择au和v的变化方程为:
au = sinA*sinB*v/cosA
dv/dt = -kv
那么李雅普诺夫函数V的导数dV/dt就是负定的。
李雅普诺夫函数V=1/2*ze^2,其中ze=v*cosA+r*sinA+Au*sinB,如何设计Au使得V的一阶导数存在-b^2项
我们首先对 $V$ 求一阶导数:
$$
\begin{aligned}
\frac{dV}{dA} &= \frac{d}{dA} \left[ \frac{1}{2}(v\cos A + r\sin A + Au\sin B)^2 \right] \\
&= (v\cos A + r\sin A + Au\sin B) \cdot (v(-\sin A) + r\cos A + Au\cos B \cdot B)
\end{aligned}
$$
其中,为了方便起见,我们将 $Au\sin B$ 记为 $u$。现在的问题是如何设计 $u$ 使得 $-\frac{dV}{dA}$ 中含有 $b^2$ 项。
我们发现,$-\frac{dV}{dA}$ 中含有 $\cos A$ 和 $\sin A$ 两个因子。为了让其含有 $b^2$ 项,我们需要让 $\sin A = b$,并且让 $\cos A$ 的系数为 $0$。具体来说,我们可以这样设计 $u$:
$$
u = -\frac{v\cos B}{b}
$$
这样,$\sin A = b$,而 $\cos A$ 的系数为:
$$
v(-\sin A) + r\cos A + Au\cos B \cdot B = v(-b) + r\cdot 0 + Au\cos B \cdot B = -\frac{v^2\cos B}{b} - \frac{vr\sin B}{b}
$$
因此,$-\frac{dV}{dA}$ 中含有 $b^2$ 项:
$$
\begin{aligned}
-\frac{dV}{dA} &= -(v\cos A + r\sin A + Au\sin B) \cdot (v(-\sin A) + r\cos A + Au\cos B \cdot B) \\
&= -(v\cos A + r\sin A - \frac{v^2\cos B}{b} - \frac{vr\sin B}{b} \cdot \frac{v\cos B}{b}) \\
&= -\frac{v^3\cos^2 B}{b^2} - \frac{vr^2\sin^2 B}{b^2} - \frac{2v^2r\cos B\sin B}{b^2}
\end{aligned}
$$
其中,我们利用了 $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$。因此,当 $u = -\frac{v\cos B}{b}$ 时,$V$ 的一阶导数中含有 $b^2$ 项。