扩展欧几里得acwing
时间: 2024-05-29 08:07:07 浏览: 18
扩展欧几里得算法是欧几里得算法的扩展,用于求解形如ax + by = gcd(a, b)的不定方程。其中a、b为整数,x、y为整数解。该算法可以用于求最大公约数,判断两个数是否互质,以及求解同余方程等问题。
算法流程如下:
1. 若b=0,则gcd(a,b)=a,此时x=1,y=0;
2. 若b≠0,则gcd(a,b)=gcd(b,a mod b),令d=gcd(b,a mod b),则存在整数x1和y1,使得b*x1+(a mod b)*y1=d;
3. 根据同余方程的求解方法,可以得到a*x+b*y=gcd(a,b)的一组整数解:x=y1,y=x1-floor(a/b)*y1。
扩展欧几里得算法可以用递归或迭代方式实现,递归方式代码如下:
```python
def exgcd(a, b):
if b == 0:
return a, 1, 0
d, x1, y1 = exgcd(b, a % b)
x = y1
y = x1 - (a // b) * y1
return d, x, y
```
相关问题
python扩展欧几里得算法
扩展欧几里得算法是一种用于求解一元线性同余方程的算法,可以表示为ax ≡ b (mod n)。在Python中,我们可以用以下函数来实现扩展欧几里得算法:
```python
def extended_gcd(a, b):
if b == 0:
return 1, 0, a
else:
x, y, d = extended_gcd(b, a % b)
return y, x - (a // b) * y, d
def solve_linear_congruence(a, b, n):
x, y, d = extended_gcd(a, n)
if b % d == 0:
x0 = (x * (b // d)) % n
for i in range(d):
print("x ≡", (x0 + i * (n // d)) % n, "(mod", n, ")")
else:
print("无解")
```
在这段代码中,我们首先定义了一个`extended_gcd`函数,用于计算扩展欧几里得算法的结果。然后我们定义了一个`solve_linear_congruence`函数,用于解一元线性同余方程。这个函数会调用`extended_gcd`函数来得到结果,并根据情况输出方程的解或者无解情况。
通过这段代码,我们可以方便地在Python中使用扩展欧几里得算法来解决一元线性同余方程,这对于一些加密算法和数论问题来说是非常有用的。
扩展欧几里得算法
扩展欧几里得算法是求解两个整数 a 和 b 的最大公约数(Greatest Common Divisor,简称 GCD)以及一组整数x、y的算法,满足 ax + by = gcd(a, b)。
具体实现方法是:先运用欧几里得算法求出 a 和 b 的最大公约数 gcd(a, b),然后递归执行扩展欧几里得算法,求出 b 和 a mod b 的最大公约数 gcd(b, a mod b),在求解 gcd(b, a mod b) 的同时,根据递归公式 x = y1,y = x1 - ⌊a/b⌋*y1 更新 x 和 y 的值,最终得到一组 x 和 y 的值,满足 ax + by = gcd(a, b)。
下面是扩展欧几里得算法的伪代码实现:
```
function extended_gcd(a, b):
if b == 0:
return a, 1, 0
else:
gcd, x1, y1 = extended_gcd(b, a mod b)
x = y1
y = x1 - (a // b) * y1
return gcd, x, y
```
其中,a 和 b 是要求解的两个整数,返回值 gcd 是 a 和 b 的最大公约数,x 和 y 是一组整数,满足 ax + by = gcd(a, b)。