设矩阵A=(1,2),则行列式| A^TA|=

首先，计算 $A^T$：
$$
A^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
$$

然后，计算 $A^T A$：
$$
A^T A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 2 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \end{pmatrix}
$$

因此，行列式 $|A^T A|$ 等于矩阵 $A^T A$ 的唯一元素 $5$，即 $|A^T A| = 5$。

相关问题

6、设A、B为3阶矩阵，并且|A|=3，|B|=2，|A^(-1)+B|=2，则|A+B^(-1)|=

### 回答1：
由矩阵行列式性质，有$|AB|=|A||B|$ 和 $|A^{-1}|=|A|^{-1}$，则：

$$
|A+B^{-1}|=|A^{-1}A+A^{-1}B^{-1}||A+B^{-1}|=|A^{-1}(A+B^{-1})||A+B^{-1}|=|I_3+A^{-1}B^{-1}||A+B^{-1}|
$$

又因为$|A|=3$，$|B|=2$，$|A^{-1}+B|=2$，则：

$$
|A^{-1}B^{-1}|=\frac{|A^{-1}+B|-|A^{-1}||B|}{2}=\frac{2-3\times 2}{2}=-\frac{2}{2}=-1
$$

然后，根据行列式的定义展开计算：

$$
\begin{aligned}
|I_3+A^{-1}B^{-1}|&=\left|\begin{matrix}1-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&1-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&1-\frac{1}{2}\end{matrix}\right|\\
&=\left|\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right|+\frac{1}{2}\left|\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right|-\frac{1}{2}\left|\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right|\\
&=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}
\end{aligned}
$$

综上所述，$|A+B^{-1}|=|I_3+A^{-1}B^{-1}||A+B^{-1}|=2\times \frac{5}{8}=\frac{5}{4}$。因此，$|A+B^{-1}|=\frac{5}{4}$。

### 回答2：
根据矩阵的性质，矩阵乘法满足结合律，即(A B)^(-1) = B^(-1) A^(-1)。

我们已知 |A^(-1) B| = 2，即 A^(-1) B 的行列式的值为2。

根据行列式的性质，行列式的值等于行列式的转置矩阵的值，即 |A^(-1) B| = |(A^(-1) B)^T|。

再根据矩阵转置的性质，矩阵的转置与行列式的乘法顺序无关，即 |(A^(-1) B)^T| = |B^T (A^(-1))^T|。

根据矩阵转置的性质，转置矩阵的逆等于原矩阵的逆的转置，即 (A^(-1))^T = (A^T)^(-1)。

将以上结果代入，得到 |A^(-1) B| = |B^T (A^(-1))^T| = |B^T (A^T)^(-1)|。

根据行列式的性质，行列式的乘积等于行列式的因子的乘积，即 |B^T (A^T)^(-1)| = |B^T| |(A^T)^(-1)|。

再根据矩阵的性质，行列式的值等于矩阵的行列式的值，即 |B^T| = |B|，|(A^T)^(-1)| = |(A^(-1))^T| = |A^(-1)|。

将以上结果代入，得到 |A^(-1) B| = |B^T| |(A^T)^(-1)| = |B| |A^(-1)|。

已知 |A| = 3，|B| = 2，代入上式，得到 |A^(-1) B| = |B| |A^(-1)| = 2 * 3 = 6。

因此，答案是 |A B^(-1)| = 6。

### 回答3：
题目中给出了两个矩阵A和B，且A是一个3阶矩阵，B也是一个3阶矩阵。已知 |A| = 3，|B| = 2，并且 |A^(-1) B| = 2。

|A|表示矩阵A的行列式，|A^(-1)|表示矩阵A的逆矩阵的行列式，行列式的值可以理解为矩阵的“面积”或“体积”。

首先，根据矩阵的性质有 |AB| = |A| * |B|，即矩阵A与矩阵B的乘积的行列式等于矩阵A的行列式乘以矩阵B的行列式。

由题意得 |A^(-1) B| = 2，即矩阵A^(-1)与矩阵B的乘积的行列式等于2。

根据矩阵的性质又有： |A^(-1) B| = |A^(-1)| * |B|，即乘积矩阵A^(-1) B的行列式等于矩阵A^(-1)的行列式乘以矩阵B的行列式。

由此可得： |A^(-1)| * |B| = 2。

接下来，我们要求的是矩阵A与矩阵B的逆矩阵的乘积的行列式，即 |A B^(-1)|。

根据矩阵的性质有 |AB| = |A| * |B|，则 |A B^(-1)| = |A| * |B^(-1)|。

我们已知 |A| = 3，而要求的是 |A B^(-1)|。

由此，我们可以得出： |A B^(-1)| = 3 * |B^(-1)|。

但是，我们并没有直接给出矩阵B的逆矩阵的行列式，而只有矩阵B的行列式的值为2。

所以，不能直接计算出 |A B^(-1)| 的值。

最后的答案是无法确定。

矩阵A=(a b c),|A|=2,则|a 2b 3c|等于多少

根据矩阵行列式的性质，行列式中每个元素都乘以一个系数，系数为该元素所在行数和列数的和的奇偶性。因此，有：
|a 2b 3c| = a*(2+3) * (-1)^(1+2) + 2*(3+c) * (-1)^(1+3) + 3*(a+b) * (-1)^(2+1)
= 5a - 6b - 3c
因此，|a 2b 3c|等于5a-6b-3c。