设5阶实对称方阵A有3个互异特征值，且0是其特征多项式的3重根，则下面说法正确的是

根据代数学基本定理，$A$的特征多项式可以表示为$p(\lambda)=(\lambda-0)^3(\lambda-\alpha)(\lambda-\beta)$，其中$\alpha$和$\beta$是$A$的两个互异特征值。

由于$A$是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，所以$\alpha$和$\beta$必须是实数。

因为$p(\lambda)$的次数为5，所以$\alpha$和$\beta$必须是共轭复数对。

因此，下面的说法正确：

$\alpha$和$\beta$是共轭复数对。

相关问题

给定元素值互异的数组 A[1…n]，尝试在 O(n) 时间内找到最小的 k 个数,算法设计C++代码

可以使用快速选择算法来解决这个问题，其时间复杂度为 O(n)。

具体步骤如下：

1. 选取数组 A 中的一个随机元素 x，把数组 A 分为两个部分：小于 x 的元素放在左边，大于等于 x 的元素放在右边。

2. 如果左半部分的元素个数小于 k，则在右半部分递归寻找最小的 k - 左半部分元素个数 个元素。

3. 如果左半部分的元素个数大于等于 k，则在左半部分递归寻找最小的 k 个元素。

4. 如果左半部分的元素个数恰好等于 k，则左半部分的所有元素都是最小的 k 个元素。

C++代码实现如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int quickSelect(vector<int>& nums, int k, int left, int right) {
    int pivot = nums[left];
    int i = left, j = right;
    while (i < j) {
        while (i < j && nums[j] >= pivot) j--;
        nums[i] = nums[j];
        while (i < j && nums[i] < pivot) i++;
        nums[j] = nums[i];
    }
    nums[i] = pivot;
    if (i - left == k - 1) return i;
    else if (i - left > k - 1) return quickSelect(nums, k, left, i - 1);
    else return quickSelect(nums, k - i + left - 1, i + 1, right);
}

vector<int> findKSmallest(vector<int>& nums, int k) {
    int index = quickSelect(nums, k, 0, nums.size() - 1);
    vector<int> res;
    for (int i = 0; i <= index; i++) {
        res.push_back(nums[i]);
    }
    return res;
}

int main() {
    vector<int> nums = {3, 2, 1, 5, 6, 4};
    int k = 2;
    vector<int> res = findKSmallest(nums, k);
    for (int i = 0; i < res.size(); i++) {
        cout << res[i] << " ";
    }
    return 0;
}

给定元素值互异的数组 A[ͳ ǡ ǥ ǡ n]，尝试在 O(nሻ 时间内找到最小的 k 个数（提 示：以快速排序算法为模型

可以使用快速排序算法的变种——快速选择（Quick Select）来解决这个问题。

快速选择算法的基本思想和快速排序类似，都是通过分治的思想将问题规模缩小，但是快速选择只需要递归地处理数组的一部分，而不是对整个数组排序。在快速选择算法中，我们通过一次划分操作（partition）将数组分为两部分，其中一部分的所有元素都小于等于划分元素，另一部分的所有元素都大于等于划分元素。然后，我们根据划分元素的位置，判断最小的 k 个数在哪一部分中，然后递归地对该部分继续进行划分操作，直到找到最小的 k 个数为止。

具体实现如下：

1. 定义函数 quick_select(A, left, right, k)，其中 A 是要处理的数组，left 和 right 是数组的左右边界，k 是要找的最小元素个数。

2. 在函数内部，先调用一次 partition 函数，将数组分为两部分，返回划分元素的下标 pivot。

3. 判断 pivot 是否等于 k-1，如果是，则返回数组 A 的前 k 个元素；如果 pivot 小于 k-1，则在 A[pivot+1:right] 中继续查找最小的 k-pivot-1 个元素；如果 pivot 大于 k-1，则在 A[left:pivot] 中继续查找最小的 k 个元素。

4. 在递归调用时，需要注意传入的 k 值需要根据已经找到的最小元素个数进行调整。

代码实现如下：

def quick_select(A, left, right, k):
    if left == right:
        return [A[left]]
    
    pivot = partition(A, left, right)
    
    if pivot == k - 1:
        return A[:pivot+1]
    elif pivot < k - 1:
        return quick_select(A, pivot+1, right, k)
    else:
        return quick_select(A, left, pivot-1, k)
    
def partition(A, left, right):
    pivot = A[left]
    i, j = left, right
    
    while i < j:
        while i < j and A[j] >= pivot:
            j -= 1
        A[i] = A[j]
        
        while i < j and A[i] <= pivot:
            i += 1
        A[j] = A[i]
        
    A[i] = pivot
    return i

使用该算法可以在 O(n) 的时间复杂度内找到最小的 k 个数。