def QR(A): def householder(a): n = len(a) v = np.zeros(n) v[0] = np.linalg.norm(a) if a[0] < 0: v[0] = -v[0] v = v + a v = v / np.linalg.norm(v) H = np.eye(n) - 2 * np.outer(v, v) return H def qr_factorization(A): m, n = A.shape Q = np.eye(m) R = A.copy() for j in range(min(m, n)): a = R[j:, j] H = np.eye(m) H[j:, j:] = householder(a) Q = Q @ H.T R = H @ R return Q, R Q, R = qr_factorization(A) for i in range(10): for j in range(10): Q[i,j]=Q[j,i] #faire la transposition b = sp.Matrix(sp.symbols('a1:11')) b = Q@b x = sp.zeros(10, 1) for i in range(9, -1, -1): x[i] = b[i] for j in range(i+1, 10): x[i] -= R[i, j] * x[j] x[i] /= R[i, i] coeff_matrix = sp.Matrix(np.zeros((10, 10))) for i in range(10): for j in range(10): coeff_matrix[i, j] = x[i].coeff(sp.Symbol('a{}'.format(j + 1))) return(coeff_matrix) 为什么这个函数返回的并不是A的逆矩阵

这个函数返回的结果并不是 A 的逆矩阵，而是一个 10x10 的矩阵 coeff_matrix，其中 coeff_matrix[i, j] 存储的是 x[i] 中 a[j] 的系数。这个函数的主要作用是对输入的矩阵 A 进行 QR 分解，然后通过 QR 分解求解 A 的伪逆矩阵。具体来说，该函数先使用 Householder 变换将 A 转化为上三角矩阵 R，然后计算出对应的正交矩阵 Q，最后根据 QR 分解求解 A 的伪逆矩阵。在这个过程中，函数使用 sympy 库来计算 x 中各个变量的系数，进而得到 A 的伪逆矩阵。因此，该函数返回的结果是 A 的伪逆矩阵的系数矩阵，而不是 A 的逆矩阵。

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用中文解释一下这段代码在干什么def householder(a): n = len(a) v = np.zeros(n) v[0] = np.linalg.norm(a) if a[0] < 0: v[0] = -v[0] v = v + a v = v / np.linalg.norm(v) H = np.eye(n) - 2 * np.outer(v, v) return H def qr_décomposition(A): m, n = A.shape Q = np.eye(m) R = A.copy() for j in range(min(m, n)): a = R[j:, j] H = np.eye(m) H[j:, j:] = householder(a) Q = Q @ H.T R = H @ R return Q, R

这段代码实现了用 Householder 变换对矩阵进行 QR 分解的过程。

函数 "householder(a)" 对一个向量 "a" 进行 Householder 变换。Householder 变换是一种线性变换，可以将一个向量变换为与所选轴共线的向量。在这里，它被用于将矩阵 "A" 变换为上三角矩阵 "R"，以进行 QR 分解。

具体来说，对于一个向量 "a"，Householder 变换的目标是找到一个向量 "v"，使得由 "H = I - 2 * v * v^T" 定义的对称矩阵将 "a" 变换为与所选轴共线的向量。这里选择 "v"，使得 "v" 的第一个分量等于 "a" 的模长，除非 "a" 的第一个分量为负数，此时 "v" 的第一个分量取为 "a" 的模长的相反数。然后，使用 "v" 计算矩阵 "H"，并将其用于变换矩阵 "A"。

函数 "qr_décomposition(A)" 使用 Householder 变换计算矩阵 "A" 的 QR 分解。将矩阵 "Q" 初始化为单位矩阵，将矩阵 "R" 初始化为 "A" 的一份副本。对于"R" 的每一列，应用 Householder 变换来消除对角线以下的分量。每次变换后，更新矩阵 "Q" 以考虑变换，同时将变换应用于矩阵 "R"。最终，返回单位正交矩阵 "Q" 和上三角矩阵 "R"。

def householder(a): n = len(a) v = np.zeros(n) v[0] = np.linalg.norm(a) if a[0] < 0: v[0] = -v[0] v = v + a v = v / np.linalg.norm(v) H = np.eye(n) - 2 * np.outer(v, v) return H def qr_décomposition(A): m, n = A.shape Q = np.eye(m) R = A.copy() for j in range(min(m, n)): a = R[j:, j] H = np.eye(m) H[j:, j:] = householder(a) Q = Q @ H.T R = H @ R return Q, R这段代码中加减乘除这样的基本运算有多少次

在这段代码中，加法、减法、乘法和除法的基本运算分别出现了：
- 加法：4次（v = np.zeros(n)，v = v + a，v = v / np.linalg.norm(v)，Q = Q @ H.T）
- 减法：2次（v[0] = -v[0]，R = A.copy()）
- 乘法：7次（2次np.outer(v, v)，2次H @ R，2次Q @ H.T，1次H[j:, j:] = householder(a)）
- 除法：1次（v = v / np.linalg.norm(v)）

因此，基本运算一共出现了14次。