用mathlab求方程int((1 + (2*a*x)^2)^(0.5),x,0,300*sin(600*asin(1/600)))-300零点

首先，我们可以将被积函数中的 $2a$ 移到积分号外面：

$$
\int \sqrt{1+(2ax)^2} dx
$$

接下来，我们进行换元，令 $u=2ax$，则 $du=2a dx$，代入上式得：

$$
\frac{1}{2a} \int \sqrt{1+u^2} du
$$

这是一个标准的有理三角函数积分，可以通过令 $u=\tan\theta$ 进行求解：

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2a} \int \sqrt{1+u^2} du &= \frac{1}{2a} \int \sqrt{1+\tan^2\theta} \cdot \sec^2\theta d\theta \\
&= \frac{1}{2a} \int \sec^3\theta d\theta \\
&= \frac{1}{2a} \cdot \frac{\sec\theta \tan\theta + \ln|\sec\theta+\tan\theta|}{2} + C \\
&= \frac{1}{2a} \cdot \frac{\sqrt{1+(2ax)^2} \cdot \frac{2ax}{\sqrt{1+(2ax)^2}} + \ln|\sqrt{1+(2ax)^2}+2ax|}{2} + C \\
&= \frac{1}{2} \sqrt{1+(2ax)^2} + \frac{1}{4a} \ln|\sqrt{1+(2ax)^2}+2ax| + C
\end{aligned}
$$

将 $0$ 和 $300\sin(600\arcsin\frac{1}{600})$ 带入得到：

$$
\begin{aligned}
&\int_0^{300\sin(600\arcsin\frac{1}{600})} \sqrt{1+(2ax)^2} dx - 300 \\
=&\left[\frac{1}{2} \sqrt{1+(2ax)^2} + \frac{1}{4a} \ln|\sqrt{1+(2ax)^2}+2ax| \right]_0^{300\sin(600\arcsin\frac{1}{600})} - 300 \\
=& \frac{1}{2} \sqrt{1+(2a\cdot 300\sin(600\arcsin\frac{1}{600}))^2} + \frac{1}{4a} \ln\left|\sqrt{1+(2a\cdot 300\sin(600\arcsin\frac{1}{600}))^2}+2a\cdot 300\sin(600\arcsin\frac{1}{600})\right| \\
&- \left(\frac{1}{2} \sqrt{1} + \frac{1}{4a} \ln|1| \right) - (-300) \\
=& \frac{1}{2} \sqrt{1+360000} + \frac{1}{4a} \ln\left|\sqrt{1+360000}+600a\right| + 300
\end{aligned}
$$

因此，要求的结果为：

$$
\frac{1}{2} \sqrt{360001} + \frac{1}{4a} \ln\left|\sqrt{360001}+600a\right|
$$