python给定一个无向加权图,包含 n 个顶点和 m 条边,设计一个算法来找出一棵最小生成树,也就是将所有的顶点连接在一起,并使得所有的边的权重总和最小。
时间: 2024-06-07 16:10:29 浏览: 16
这是经典的最小生成树问题,可以使用 Kruskal 或 Prim 算法来解决。
Kruskal 算法步骤如下:
1. 将所有边按照权重从小到大排序。
2. 初始化一个空的最小生成树集合,然后依次遍历每一条边。
3. 对于每一条边,如果将其加入到最小生成树集合中不会形成环,则将它加入到最小生成树集合中。
4. 最终,最小生成树集合中包含的边即为所求。
Prim 算法步骤如下:
1. 选择任意一个顶点作为起始点。
2. 初始化一个空的最小生成树集合和一个优先队列,将起始点加入到优先队列中。
3. 从优先队列中取出权重最小的边,并将其连接的顶点加入到最小生成树集合中。
4. 将新加入的顶点的所有未被访问的边加入到优先队列中。
5. 重复步骤 3 和 4 直到最小生成树集合中包含了所有顶点。
两种算法的时间复杂度都为 O(mlogm),其中 m 为图中边的数量。
相关问题
python随机给定一个无向加权图,包含 n 个顶点和 m 条边,设计一个算法来找出一棵最小生成树,也就是将所有的顶点连接在一起,并使得所有的边的权重总和最小。
这是一个经典的最小生成树问题,可以使用 Kruskal 或 Prim 算法来解决。
1. Kruskal 算法
Kruskal 算法是一种基于贪心策略的最小生成树算法,其基本思想是按照边权值从小到大选择边,并且在选择过程中保证不会形成环。具体步骤如下:
(1)将所有边按照权重从小到大排序。
(2)依次将每条边加入生成树中,如果加入该边后会形成环,则不加入。直到生成树中包含 n-1 条边为止。
Python 代码如下:
```python
def kruskal(n, edges):
# 初始化并查集
parent = [i for i in range(n)]
rank = [0] * n
# 定义查找祖先节点的函数
def find(x):
if parent[x] != x:
parent[x] = find(parent[x])
return parent[x]
# 定义合并集合的函数
def union(x, y):
x_root, y_root = find(x), find(y)
if x_root == y_root:
return False
elif rank[x_root] < rank[y_root]:
parent[x_root] = y_root
elif rank[x_root] > rank[y_root]:
parent[y_root] = x_root
else:
parent[y_root] = x_root
rank[x_root] += 1
return True
# 将边按照权重从小到大排序
edges.sort(key=lambda edge: edge[2])
# 初始化生成树和边权值总和
mst, weight = [], 0
# 依次加入每条边
for edge in edges:
if union(edge[0], edge[1]):
mst.append(edge)
weight += edge[2]
if len(mst) == n - 1:
break
return mst, weight
```
2. Prim 算法
Prim 算法也是一种基于贪心策略的最小生成树算法,其基本思想是从一个起始点开始,每次选择与当前生成树相邻且权重最小的边,并将该点加入生成树中。具体步骤如下:
(1)选择一个起始点,将该点加入生成树中。
(2)将该点的所有出边加入优先队列中。
(3)从队列中取出权重最小的边,如果该边的终点不在生成树中,则将该点加入生成树中,并将该点的所有出边加入队列中。
(4)重复步骤(3),直到生成树中包含 n 个点为止。
Python 代码如下:
```python
import heapq
def prim(n, edges):
# 构建邻接表
graph = [[] for _ in range(n)]
for u, v, w in edges:
graph[u].append((v, w))
graph[v].append((u, w))
# 初始化起始点和优先队列
start = 0
visited = set([start])
pq = [(w, start, v) for v, w in graph[start]]
# 初始化生成树和边权值总和
mst, weight = [], 0
# 依次加入每个点
while len(mst) < n - 1:
# 取出权重最小的边
w, u, v = heapq.heappop(pq)
if v not in visited:
# 将该点加入生成树中
visited.add(v)
mst.append((u, v, w))
weight += w
# 将该点的所有出边加入队列中
for next_v, next_w in graph[v]:
if next_v not in visited:
heapq.heappush(pq, (next_w, v, next_v))
return mst, weight
```
注意,以上两种算法都需要用到并查集或优先队列来管理边或点,时间复杂度为 O(mlogm) 或 O(mlogn),其中 m 是边数,n 是点数。
实现采用克鲁斯卡尔算法求最小生成树 设计一个程序
好的,这是一个简单的 Python 代码示例,用于使用克鲁斯卡尔算法求解给定图的最小生成树。
```python
# 定义边的数据结构
class Edge:
def __init__(self, u, v, w):
self.u = u
self.v = v
self.w = w
# 定义并查集数据结构
class UnionFind:
def __init__(self, n):
self.parent = list(range(n))
self.rank = [0] * n
def find(self, x):
if self.parent[x] != x:
self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
return self.parent[x]
def union(self, x, y):
root_x, root_y = self.find(x), self.find(y)
if root_x == root_y:
return
if self.rank[root_x] < self.rank[root_y]:
self.parent[root_x] = root_y
elif self.rank[root_x] > self.rank[root_y]:
self.parent[root_y] = root_x
else:
self.parent[root_y] = root_x
self.rank[root_x] += 1
# 克鲁斯卡尔算法求解最小生成树
def kruskal(n, edges):
uf = UnionFind(n)
edges.sort(key=lambda e: e.w)
res = []
for e in edges:
if uf.find(e.u) != uf.find(e.v):
uf.union(e.u, e.v)
res.append(e)
return res
# 测试用例
n = 5
edges = [
Edge(0, 1, 2),
Edge(0, 3, 6),
Edge(1, 3, 8),
Edge(1, 2, 3),
Edge(1, 4, 5),
Edge(2, 4, 7),
Edge(3, 4, 9)
]
res = kruskal(n, edges)
for e in res:
print(e.u, e.v, e.w)
```
这个程序可以处理具有 n 个顶点和 edges 列表中给定的 m 条边的无向图,其中每条边都由其两个端点和权重表示。程序使用并查集数据结构来维护连通性。它首先将边按权重从小到大排序,然后从最小的边开始遍历,如果两个端点不在同一个集合中,则将它们合并并添加到结果列表中。最后,程序返回包含最小生成树的边的列表。
希望这个示例对你有所帮助!