差分进化算法（C＋＋实现

差分进化算法是一种优化算法，用于寻找函数的最小值或最大值。它基于一种简单的思想：以种群为基础，通过随机生成的差分向量来进行变异，然后通过交叉操作来产生新的个体，并通过适应度函数来评估它们的适应性。

以下是差分进化算法的C++实现：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <random>
#include <algorithm>

using namespace std;

// 定义适应度函数
double fitness(vector<double> x) {
    double f = 0;
    for (int i = 0; i < x.size(); i++) {
        f += pow(x[i], 2);
    }
    return f;
}

// 定义差分进化算法
void differential_evolution(int dim, int pop_size, int max_iter, double F, double CR, vector<double> &lower, vector<double> &upper) {
    // 初始化种群
    random_device rd;
    mt19937 gen(rd());
    uniform_real_distribution<double> dis(0.0, 1.0);
    vector<vector<double>> pop(pop_size, vector<double>(dim));
    for (int i = 0; i < pop_size; i++) {
        for (int j = 0; j < dim; j++) {
            pop[i][j] = dis(gen) * (upper[j] - lower[j]) + lower[j];
        }
    }
    // 开始迭代
    for (int i = 0; i < max_iter; i++) {
        // 变异
        for (int j = 0; j < pop_size; j++) {
            int r1, r2, r3;
            do {
                r1 = rand() % pop_size;
            } while (r1 == j);
            do {
                r2 = rand() % pop_size;
            } while (r2 == j || r2 == r1);
            do {
                r3 = rand() % pop_size;
            } while (r3 == j || r3 == r1 || r3 == r2);
            vector<double> mutant(dim);
            for (int k = 0; k < dim; k++) {
                mutant[k] = pop[r1][k] + F * (pop[r2][k] - pop[r3][k]);
                mutant[k] = max(mutant[k], lower[k]);
                mutant[k] = min(mutant[k], upper[k]);
            }
            // 交叉
            vector<double> trial(dim);
            int j_rand = rand() % dim;
            for (int k = 0; k < dim; k++) {
                if (dis(gen) < CR || k == j_rand) {
                    trial[k] = mutant[k];
                } else {
                    trial[k] = pop[j][k];
                }
            }
            // 选择
            if (fitness(trial) < fitness(pop[j])) {
                pop[j] = trial;
            }
        }
    }
    // 找到最优解
    double best_fitness = fitness(pop[0]);
    vector<double> best_individual = pop[0];
    for (int i = 1; i < pop_size; i++) {
        double f = fitness(pop[i]);
        if (f < best_fitness) {
            best_fitness = f;
            best_individual = pop[i];
        }
    }
    // 输出结果
    cout << "best fitness: " << best_fitness << endl;
    cout << "best individual: ";
    for (int i = 0; i < best_individual.size(); i++) {
        cout << best_individual[i] << " ";
    }
    cout << endl;
}

int main() {
    int dim = 10;
    int pop_size = 50;
    int max_iter = 1000;
    double F = 0.8;
    double CR = 0.5;
    vector<double> lower(dim, -5);
    vector<double> upper(dim, 5);
    differential_evolution(dim, pop_size, max_iter, F, CR, lower, upper);
    return 0;
}

在本例中，我们使用适应度函数$f(x)=\sum_{i=1}^d x_i^2$，其中$d$是问题的维度。我们将最小化这个函数，因此我们将使用差分进化算法来寻找最小值。

在函数`differential_evolution()`中，我们首先使用随机数生成器初始化种群。然后我们开始迭代，每次迭代都进行变异、交叉和选择操作。在变异操作中，我们将使用随机选择的个体$r_1,r_2,r_3$来生成差分向量，然后将其与当前个体相加，从而生成突变个体。在交叉操作中，我们随机选择一个位置$j$，并使用突变个体中的值来替换当前个体中的值。在选择操作中，我们比较突变个体和当前个体的适应度，并选择适应度更高的个体作为下一代。

最后，我们找到最优解，并输出结果。在本例中，我们使用了一个10维问题，种群大小为50，最大迭代次数为1000，差分进化算法参数$F=0.8$，$CR=0.5$，搜索范围为$[-5,5]$。