哈密尔顿函数与变分法的联系
时间: 2023-12-20 11:06:18 浏览: 48
哈密尔顿函数是经典力学中的一个非常重要的概念,它与变分法密切相关。
首先,我们来看哈密尔顿函数的定义。对于一个具有广义坐标$q_i$和广义动量$p_i$的系统,哈密尔顿函数$H(q,p)$定义为:
$$H(q,p) = \sum_i p_i \dot{q}_i - L(q,\dot{q})$$
其中,$L$是系统的拉格朗日函数。哈密尔顿函数是一个关于广义坐标和广义动量的函数。
接下来,我们来看哈密尔顿函数与变分法的联系。在经典力学中,哈密尔顿原理是指系统在某个时间段内的运动路径,使得作用量最小。作用量$S$是一个关于路径$q(t)$的函数,定义为:
$$S[q(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot{q})dt$$
其中,$L$是系统的拉格朗日函数。
利用变分法可以得到哈密尔顿原理的欧拉-拉格朗日方程,即:
$$\frac{\delta S}{\delta q} = \frac{d}{dt}\frac{\delta S}{\delta \dot{q}}$$
将$L$表示为哈密尔顿函数的形式,即$L(q,\dot{q})=p\dot{q}-H(q,p)$,其中$p$是广义动量,代入作用量的表达式中,可以得到:
$$S[q(t)] = \int_{t_1}^{t_2} [p\dot{q}-H(q,p)]dt$$
接下来,我们对路径$q(t)$进行微小变化$\delta q(t)$,并保持端点不变。利用变分法,可以得到:
$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} [\delta p\dot{q} + p\delta \dot{q} - \frac{\partial H}{\partial q}\delta q - \frac{\partial H}{\partial p}\delta p]dt + [p\delta q]_{t_1}^{t_2}$$
根据变分法的要求,端点不变,即$[p\delta q]_{t_1}^{t_2}=0$。因此,我们可以得到哈密尔顿原理的欧拉-拉格朗日方程:
$$\begin{cases}\frac{\partial H}{\partial p}=\dot{q}\\-\frac{\partial H}{\partial q}=\dot{p}\end{cases}$$
这就是哈密尔顿函数与变分法的联系。使用哈密尔顿函数,可以将拉格朗日方程转化为哈密尔顿方程,从而更方便地研究系统的动力学性质。
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