构建图的最小生成树或求最短路径。

时间: 2024-05-18 08:16:37 浏览: 12
好的,你的问题是如何处理构建图的最小生成树或求最短路径。这是一个非常经典的问题,通常可以使用两种算法来解决:Prim算法和Kruskal算法来构建最小生成树,Dijkstra算法和Bellman-Ford算法来求最短路径。 Prim算法是一种贪心算法,它从一个点开始,以此向外扩展,不断加入与当前生成树连接的最小边,直到所有的点都被加入生成树,最后得到的就是最小生成树。 Kruskal算法也是一种贪心算法,它将所有的边按权值从小到大排序,然后依次加入,如果加入这条边不会形成环,就将它加入最小生成树中,直到所有的点都被加入生成树。 Dijkstra算法是一种单源最短路径算法,它以一个起点为基础,不断找到与当前点距离最短的点,并将它加入已经确定最短路径的集合中,直到所有的点都被加入集合中,最后得到的就是起点到所有点的最短路径。 Bellman-Ford算法也是一种单源最短路径算法,它允许边上存在负权值,通过不断更新每个点的最短路径,直到没有任何一个点的最短路径再改变,最后得到的就是起点到所有点的最短路径。 以上是我对你问题的回答,希望对你有帮助。
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构建图的最小生成树或求最短路径C语言

最小生成树算法: 使用Prim算法实现: ```c #include <stdio.h> #include <stdbool.h> // bool类型需要用到 #define MAX_VERTICES 100 #define INF 1000000 int num_vertices; // 图中顶点个数 int adj_matrix[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES]; // 图的邻接矩阵 void prim(int start_vertex) { bool visited[MAX_VERTICES] = {false}; // 顶点是否已被访问 int distance[MAX_VERTICES]; // 到各顶点的距离 int parent[MAX_VERTICES]; // 生成树的父节点 // 初始化 for (int i = 0; i < num_vertices; i++) { visited[i] = false; distance[i] = INF; parent[i] = -1; } distance[start_vertex] = 0; for (int i = 0; i < num_vertices - 1; i++) { // 循环n-1次,构建n-1条边 int min_distance = INF; int u; // 最小距离对应的顶点编号 // 找到未被访问过的、到起点距离最短的顶点 for (int j = 0; j < num_vertices; j++) { if (!visited[j] && distance[j] < min_distance) { min_distance = distance[j]; u = j; } } visited[u] = true; // 对该顶点进行标记 // 更新与该顶点相邻的顶点到起点的距离 for (int v = 0; v < num_vertices; v++) { if (adj_matrix[u][v] != 0 && !visited[v] && adj_matrix[u][v] < distance[v]) { distance[v] = adj_matrix[u][v]; parent[v] = u; } } } // 输出生成树 printf("生成树:\n"); for (int i = 1; i < num_vertices; i++) { // 从第二个顶点开始,依次输出每个顶点的父节点和边的权值 printf("%d - %d (%d)\n", parent[i], i, adj_matrix[i][parent[i]]); } } int main() { printf("请输入图中顶点个数:"); scanf("%d", &num_vertices); printf("请输入图的邻接矩阵:\n"); for (int i = 0; i < num_vertices; i++) { for (int j = 0; j < num_vertices; j++) { scanf("%d", &adj_matrix[i][j]); } } printf("请输入起点编号:"); int start_vertex; scanf("%d", &start_vertex); prim(start_vertex); return 0; } ``` 使用Kruskal算法实现: ```c #include <stdio.h> #include <stdbool.h> // bool类型需要用到 #define MAX_VERTICES 100 #define INF 1000000 int num_vertices; // 图中顶点个数 int adj_matrix[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES]; // 图的邻接矩阵 int parent[MAX_VERTICES]; // 并查集数组 // 并查集查找根节点 int find(int x) { while (parent[x] != -1) { x = parent[x]; } return x; } void kruskal() { int total_weight = 0; // 最小生成树的总权值 int edge_count = 0; // 已选取的边的数量 // 初始化并查集 for (int i = 0; i < num_vertices; i++) { parent[i] = -1; } // 对所有边按权值从小到大排序 struct { int u, v, weight; } edges[num_vertices * num_vertices]; // 边的数组,最多有n^2条边 int count = 0; // 实际边的数量 for (int i = 0; i < num_vertices; i++) { for (int j = i + 1; j < num_vertices; j++) { // 使用邻接矩阵,只需要遍历矩阵的上三角 if (adj_matrix[i][j] != 0) { edges[count].u = i; edges[count].v = j; edges[count].weight = adj_matrix[i][j]; count++; } } } for (int i = 0; i < count - 1; i++) { // 冒泡排序 for (int j = 0; j < count - i - 1; j++) { if (edges[j].weight > edges[j+1].weight) { struct { int u, v, weight; } temp = edges[j]; edges[j] = edges[j+1]; edges[j+1] = temp; } } } // 依次选取权值最小的边,如果两个顶点不在同一个连通分量中,则加入最小生成树 printf("生成树:\n"); while (edge_count < num_vertices - 1) { // 已选取的边的数量小于n-1时,继续选取 int u = edges[edge_count].u; int v = edges[edge_count].v; int weight = edges[edge_count].weight; int root_u = find(u); int root_v = find(v); if (root_u != root_v) { // 如果两个顶点不在同一个连通分量中 parent[root_u] = root_v; // 合并连通分量 printf("%d - %d (%d)\n", u, v, weight); // 输出边 total_weight += weight; // 加上边的权值 } edge_count++; } printf("最小权值和:%d\n", total_weight); } int main() { printf("请输入图中顶点个数:"); scanf("%d", &num_vertices); printf("请输入图的邻接矩阵:\n"); for (int i = 0; i < num_vertices; i++) { for (int j = 0; j < num_vertices; j++) { scanf("%d", &adj_matrix[i][j]); } } kruskal(); return 0; } ``` 最短路径算法: 使用Dijkstra算法实现: ```c #include <stdio.h> #include <stdbool.h> // bool类型需要用到 #define MAX_VERTICES 100 #define INF 1000000 int num_vertices; // 图中顶点个数 int adj_matrix[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES]; // 图的邻接矩阵 void dijkstra(int start_vertex) { bool visited[MAX_VERTICES] = {false}; // 顶点是否已被访问 int distance[MAX_VERTICES]; // 起点到各顶点的距离 // 初始化 for (int i = 0; i < num_vertices; i++) { visited[i] = false; distance[i] = INF; } distance[start_vertex] = 0; for (int i = 0; i < num_vertices; i++) { // 循环n次,每次确定一个顶点的最短路径 int min_distance = INF; int u; // 最小距离对应的顶点编号 // 找到未被访问过的、到起点距离最短的顶点 for (int j = 0; j < num_vertices; j++) { if (!visited[j] && distance[j] < min_distance) { min_distance = distance[j]; u = j; } } visited[u] = true; // 对该顶点进行标记 // 更新与该顶点相邻的顶点到起点的距离 for (int v = 0; v < num_vertices; v++) { if (adj_matrix[u][v] != 0 && !visited[v] && distance[u] + adj_matrix[u][v] < distance[v]) { distance[v] = distance[u] + adj_matrix[u][v]; } } } // 输出到各顶点的最短路径 printf("起点到各顶点的最短路径:\n"); for (int i = 0; i < num_vertices; i++) { printf("%d -> %d: %d\n", start_vertex, i, distance[i]); } } int main() { printf("请输入图中顶点个数:"); scanf("%d", &num_vertices); printf("请输入图的邻接矩阵:\n"); for (int i = 0; i < num_vertices; i++) { for (int j = 0; j < num_vertices; j++) { scanf("%d", &adj_matrix[i][j]); } } printf("请输入起点编号:"); int start_vertex; scanf("%d", &start_vertex); dijkstra(start_vertex); return 0; } ``` 使用Bellman-Ford算法实现: ```c #include <stdio.h> #include <stdbool.h> // bool类型需要用到 #define MAX_VERTICES 100 #define INF 1000000 int num_vertices; // 图中顶点个数 int adj_matrix[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES]; // 图的邻接矩阵 void bellman_ford(int start_vertex) { int distance[MAX_VERTICES]; // 起点到各顶点的距离 // 初始化 for (int i = 0; i < num_vertices; i++) { distance[i] = INF; } distance[start_vertex] = 0; for (int i = 0; i < num_vertices - 1; i++) { // 循环n-1次,每次松弛n-1条边 for (int u = 0; u < num_vertices; u++) { for (int v = 0; v < num_vertices; v++) { if (adj_matrix[u][v] != 0 && distance[u] + adj_matrix[u][v] < distance[v]) { distance[v] = distance[u] + adj_matrix[u][v]; } } } } // 判断是否存在负权回路 bool has_negative_cycle = false; for (int u = 0; u < num_vertices; u++) { for (int v = 0; v < num_vertices; v++) { if (adj_matrix[u][v] != 0 && distance[u] + adj_matrix[u][v] < distance[v]) { has_negative_cycle = true; break; } } } if (has_negative_cycle) { printf("图中存在负权回路\n"); } else { // 输出到各顶点的最短路径 printf("起点到各顶点的最短路径:\n"); for (int i = 0; i < num_vertices; i++) { printf("%d -> %d: %d\n", start_vertex, i, distance[i]); } } } int main() { printf("请输入图中顶点个数:"); scanf("%d", &num_vertices); printf("请输入图的邻接矩阵:\n"); for (int i = 0; i < num_vertices; i++) { for (int j = 0; j < num_vertices; j++) { scanf("%d", &adj_matrix[i][j]); } } printf("请输入起点编号:"); int start_vertex; scanf("%d", &start_vertex); bellman_ford(start_vertex); return 0; } ```

构建图的最小生成树或求最短路径。(二选一部分) (1)、用Prim法求连通图的最小生成树(邻接表) (2)、用Dijkstra算法求某一确定顶点到所有其它顶点的最短路径,请在网上寻找到这段话

好的,以下是用Prim算法求连通图的最小生成树的Python实现(使用邻接表表示图): ```python import heapq def prim(graph): # 任选一个顶点作为起点 start = list(graph.keys())[0] # 初始化距离字典、已知最短路径集合和边集合 distance = {vertex: float('inf') for vertex in graph} distance[start] = 0 visited = set() edges = [] # 堆优化的Prim算法 heap = [(0, start)] while heap: (dist, current_vertex) = heapq.heappop(heap) # 如果当前顶点已经在已知最短路径集合中,跳过 if current_vertex in visited: continue visited.add(current_vertex) # 将当前顶点与已知最短路径集合中的顶点之间的边加入边集合中 if current_vertex != start: edges.append((distance[current_vertex], current_vertex, parent)) # 更新与当前顶点相邻的顶点的距离 for neighbor, weight in graph[current_vertex].items(): if neighbor not in visited: if weight < distance[neighbor]: distance[neighbor] = weight heapq.heappush(heap, (weight, neighbor)) parent = current_vertex # 返回边集合 return edges ``` 其中,graph是邻接表表示的图。这个实现中使用了堆优化,可以有效地加速算法。 以下是用Dijkstra算法求某一确定顶点到所有其它顶点的最短路径的Python实现(使用邻接表表示图): ```python import heapq def dijkstra(graph, start): # 初始化距离字典和已知最短路径集合 distance = {vertex: float('inf') for vertex in graph} distance[start] = 0 visited = set() # 堆优化的Dijkstra算法 heap = [(0, start)] while heap: (dist, current_vertex) = heapq.heappop(heap) # 如果当前顶点已经在已知最短路径集合中,跳过 if current_vertex in visited: continue visited.add(current_vertex) # 更新与当前顶点相邻的顶点的距离 for neighbor, weight in graph[current_vertex].items(): if neighbor not in visited: new_distance = dist + weight if new_distance < distance[neighbor]: distance[neighbor] = new_distance heapq.heappush(heap, (new_distance, neighbor)) # 返回距离字典 return distance ``` 其中,graph是邻接表表示的图,start是起点。这个实现中使用了堆优化,可以有效地加速算法。

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