生成任意数据集，使用numpy实现线性回归模型，代码要求使用向量化数据实现，并写出推导过程

在Python中，我们可以使用NumPy库生成随机数据集，然后构建一个简单的线性回归模型。下面是一个例子，首先我们将生成两个相关的随机变量X（自变量）和y（因变量），假设它们满足y = a * x + b + 随机误差的形式。

import numpy as np

# 设置随机数种子以便复现结果
np.random.seed(0)

# 生成随机数据 (500个样本点)
n_samples = 500
a = 1.5  # 真实斜率
b = 10   # 真实截距
x = np.linspace(-10, 10, n_samples)  # 自变量范围在-10到10
noise = np.random.normal(0, 2, size=n_samples)  # 添加随机噪声
y = a * x + b + noise  # 因变量

# 将数据转化为NumPy数组
X = x[:, np.newaxis]  # 转置为列向量，适合矩阵运算
y = y.reshape(-1, 1)  # 同理转置为列向量

# 定义线性回归的拟合函数 (利用向量化)
def linear_regression(X, y):
    X_transpose = X.T
    theta = np.linalg.inv(X_transpose @ X) @ X_transpose @ y  # 使用最小二乘法求解theta
    return theta

# 求得线性回归参数
theta_hat = linear_regression(X, y)

# 打印参数
print(f"Estimated parameters: a = {theta_hat[0]:.2f}, b = {theta_hat[1]:.2f}")

# 可视化数据及回归线
import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(x, y)
plt.plot(x, X @ theta_hat, color='r', label="Linear Regression")
plt.legend()
plt.show()