生成任意多元数据集，使用numpy实现线性回归模型，代码要求使用向量化数据实现，并写出推导过程

在Python中，我们可以使用NumPy库来创建随机数据集并构建线性回归模型。NumPy非常适合处理数值计算，包括矩阵运算，这对于实现向量化操作非常关键。

首先，让我们导入必要的库：

import numpy as np
from sklearn.model_selection import train_test_split

接下来，我们将生成一个简单的二维数据集，包含自变量（X）和因变量（y），假设它们之间存在线性关系：

# 创建随机数据集
np.random.seed(0)  # 设置随机种子保证结果可复现
n_samples = 100
slope = 2
intercept = 5
X = np.random.rand(n_samples, 1)  # 随机均匀分布
y = slope * X + intercept + np.random.randn(n_samples, 1)  # 线性关系加上噪声

# 分割数据集为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

现在我们准备创建一个简单的线性回归模型，使用NumPy的dot函数来进行矩阵乘法，实现向量化：

class LinearRegression:
    def __init__(self):
        self.weights = None
        self.bias = None

    def fit(self, X, y):
        # 将X添加偏置项
        X_with_bias = np.c_[X, np.ones((X.shape[0], 1))]
        # 使用最小二乘法求解最优权重
        self.weights = np.linalg.inv(X_with_bias.T @ X_with_bias) @ X_with_bias.T @ y
        self.bias = self.weights[-1]  # 最后一个元素是偏置项

    def predict(self, X):
        # 同样添加偏置项并预测
        X_with_bias = np.c_[X, np.ones((X.shape[0], 1))]
        return X_with_bias @ self.weights[:-1] + self.bias  # 截掉最后的偏置项

model = LinearRegression()
model.fit(X_train, y_train)
predictions = model.predict(X_test)

推导过程：
- **最小二乘法**：通过寻找使得误差平方和最小的权重和偏置，即找到一条直线使得训练样本点到这条直线的距离之和最小。
- **加偏置项**：在特征向量中添加一个常数列1，这是因为线性回归模型需要考虑截距项。
- **矩阵乘法**：`X_with_bias.T @ X_with_bias` 计算设计矩阵的转置与自身相乘得到协方差矩阵；`X_with_bias.T @ y` 计算目标变量y与设计矩阵的乘积，用于计算残差平方和。