图示为一个均匀带电的球层,其电荷体密度为,球层内表面半径为R1,外表面半径为R2。设无穷远处为电势零点,求该带电系统的场强分布和空腔内任一点的电势。
时间: 2024-02-19 17:00:53 浏览: 34
根据高斯定理,球对于球内部的电场贡献为0,因此球内部的电场强度为0。对于球层外部,我们可以通过高斯定理求出电场强度分布。假设高斯面为半径为r的球面,由于球层带电,球面上存在电荷密度$ρ=\frac{Q}{4πR_2^2}$,其中Q为球层的总电量。由于球层为均匀带电,因此球面上的电场强度为$E=\frac{Q}{4πε_0r^2}$,其中$ε_0$为真空介电常数。由于电场强度是一个矢量,方向为由带电球心指向高斯面上的点。因此,球层外部的电场强度分布为:
$$
E=
\begin{cases}
0 & r < R_1 \\
\frac{Q}{4πε_0r^2} & R_1 < r < R_2 \\
\frac{Q}{4πε_0R_2^2} & r > R_2
\end{cases}
$$
其中,$R_1$和$R_2$分别为球层内表面和外表面的半径。
对于空腔内任一点的电势,可以通过积分求解。假设待求点距离球心的距离为r,由于球层内部电场强度为0,因此我们只需要考虑球层外部电场的贡献。假设球层带电量为Q,空腔内的电势为V,则有:
$$
V = - \int_{\infty}^r E \cdot dr
$$
在r处的电势为无穷远处电势减去r到无穷远处电场积分。因此,空腔内任一点的电势为:
$$
V=
\begin{cases}
0 & r < R_1 \\
\frac{Q}{4πε_0r} - \frac{Q}{4πε_0R_2} & R_1 < r < R_2 \\
\frac{Q}{4πε_0R_2} - \frac{Q}{4πε_0r} & r > R_2
\end{cases}
$$
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